Упр.102 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.
а) $$f(x)=-\sin 3x$$
Нули функции находим из уравнения
$$-\sin 3x=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \sin 3x=0$$
$$3x=\pi n,\quad x=\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$f(x)>0,$$ то
$$-\sin 3x>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \sin 3x<0.$$
Тогда
$$\pi+2\pi n<3x<2\pi+2\pi n,$$
откуда
$$\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$f(x)<0,$$ то
$$-\sin 3x<0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \sin 3x>0,$$
значит,
$$2\pi n<3x<\pi+2\pi n,$$
то есть
$$\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$f(x)=\tg\frac{2x}{3}$$
Нули функции:
$$\tg\frac{2x}{3}=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{2x}{3}=\pi n$$
$$x=\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$f(x)>0,$$ то
$$\tg\frac{2x}{3}>0.$$
Тангенс положителен при
$$\pi n<\frac{2x}{3}<\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
откуда
$$\frac{3\pi n}{2}<x<\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$f(x)<0,$$ то
$$\tg\frac{2x}{3}<0.$$
Тогда
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<\frac{2x}{3}<\pi n,$$
то есть
$$-\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}<x<\frac{3\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$f(x)=\cos\frac{x}{2}$$
Нули функции:
$$\cos\frac{x}{2}=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$f(x)>0,$$ то
$$\cos\frac{x}{2}>0.$$
Косинус положителен при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
откуда
$$-\pi+4\pi n<x<\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$f(x)<0,$$ то
$$\cos\frac{x}{2}<0.$$
Тогда
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<\frac{x}{2}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
то есть
$$\pi+4\pi n<x<3\pi+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$f(x)=\ctg 2x$$
Нули функции:
$$\ctg 2x=0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$f(x)>0,$$ то
$$\ctg 2x>0.$$
Котангенс положителен при
$$\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+\pi n,$$
откуда
$$\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Если $$f(x)<0,$$ то
$$\ctg 2x<0.$$
Тогда
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\pi n,$$
то есть
$$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi n}{3}$$; $$f(x)>0$$ при $$\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{2\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$; $$f(x)<0$$ при $$\frac{2\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$, $$n\in\mathbb Z$$.
б) $$x=\frac{3\pi n}{2}$$; $$f(x)>0$$ при $$\frac{3\pi n}{2}<x<\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}$$; $$f(x)<0$$ при $$-\frac{3\pi}{4}+\frac{3\pi n}{2}<x<\frac{3\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$.
в) $$x=\pi+2\pi n$$; $$f(x)>0$$ при $$-\pi+4\pi n<x<\pi+4\pi n$$; $$f(x)<0$$ при $$\pi+4\pi n<x<3\pi+4\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
г) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$; $$f(x)>0$$ при $$\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$; $$f(x)<0$$ при $$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in\mathbb Z$$.
