Упр.100 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

б) При каком значении a сумма корней уравнения x^2+2a(x-1)+1=0 равна сумме квадратов этих корней?

а) Пусть корни уравнения $$x^2-4x+p=0$$ равны $$x_1$$ и $$x_2$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=4,\qquad x_1x_2=p.$$

Тогда сумма квадратов корней:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4^2-2p=16-2p.$$

По условию $$16-2p=16$$, значит

$$2p=0,\qquad p=0.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$x^2+2a(x-1)+1=0$$

$$x^2+2ax+(1-2a)=0.$$

Пусть его корни $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда по теореме Виета:

$$x_1+x_2=-2a,\qquad x_1x_2=1-2a.$$

Сумма квадратов корней равна

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4a^2-2(1-2a)=4a^2+4a-2.$$

По условию эта сумма равна сумме корней:

$$4a^2+4a-2=-2a.$$

Получаем

$$4a^2+6a-2=0,$$

$$2a^2+3a-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot(-1)=9+8=17,$$

$$a=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}.$$

Проверим, существуют ли действительные корни исходного уравнения. Для этого нужно

$$D_x=(2a)^2-4(1-2a)=4a^2+8a-4=4(a^2+2a-1)\ge 0.$$

При $$a=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$$ и $$a=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$$ это условие не выполняется, поэтому таких значений $$a$$ нет.

Ответ

а) $$p=0$$; б) таких значений $$a$$ нет.