Упр.100 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) y=3cos(x+?/4); б) y=1-tg(3x);
в) y=1-v2sin(x/2); г) y=1+2cos(2x).
а) $$y=3\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$
Так как $$3>0$$, знак функции определяется знаком косинуса:
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0.$$
Косинус положителен при
$$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$
откуда
$$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n.$$
Косинус отрицателен при
$$\frac{\pi}{2}+2\pi n<x+\frac{\pi}{4}<\frac{3\pi}{2}+2\pi n,$$
то есть
$$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n.$$
б) $$y=1-\tg 3x$$
Рассмотрим неравенство
$$1-\tg 3x>0 \quad \Longleftrightarrow \quad \tg 3x<1.$$
На каждом промежутке монотонности тангенса получаем
$$-\frac{\pi}{2}+\pi n<3x<\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
откуда
$$-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}.$$
Тогда
$$1-\tg 3x<0 \quad \Longleftrightarrow \quad \tg 3x>1,$$
то есть
$$\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{3}.$$
в) $$y=1-\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}$$
Положительность функции:
$$1-\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}>0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin\frac{x}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Значение $$\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ достигается при
$$t=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{и} \quad t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
Следовательно,
$$-\frac{5\pi}{2}+4\pi n<x<\frac{\pi}{2}+4\pi n.$$
Отрицательность функции:
$$1-\sqrt{2}\sin\frac{x}{2}<0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sin\frac{x}{2}>\frac{\sqrt{2}}{2},$$
то есть
$$\frac{\pi}{2}+4\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+4\pi n.$$
г) $$y=1+2\cos 2x$$
Положительность функции:
$$1+2\cos 2x>0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos 2x>-\frac{1}{2}.$$
Для косинуса это выполняется при
$$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{\pi}{3}+2\pi n,$$
откуда
$$-\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
Отрицательность функции:
$$1+2\cos 2x<0 \quad \Longleftrightarrow \quad \cos 2x<-\frac{1}{2},$$
то есть
$$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n.$$
Ответ
а) $$y>0$$ при $$-\frac{3\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{4}+2\pi n$$; $$y<0$$ при $$\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n$$.
б) $$y>0$$ при $$-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}$$; $$y<0$$ при $$\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{3}<x<\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n}{3}$$.
в) $$y>0$$ при $$-\frac{5\pi}{2}+4\pi n<x<\frac{\pi}{2}+4\pi n$$; $$y<0$$ при $$\frac{\pi}{2}+4\pi n<x<\frac{3\pi}{2}+4\pi n$$.
г) $$y>0$$ при $$-\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n$$; $$y<0$$ при $$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb{Z}$$.
