Упр.10 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колмогоров, Абрамов, Дудницын 10 класс, Просвещение: 10. Докажите, что для любого натурального числа N существует ряд последовательных N чисел, каждое из которых составное.

Рассмотрим число $$ (N+1)! $$.

Тогда числа

$$ (N+1)!+2,\ (N+1)!+3,\ \ldots,\ (N+1)!+(N+1) $$

образуют ряд из $$N$$ последовательных чисел.

Покажем, что каждое из них составное. Возьмём любое число этого ряда:

$$ (N+1)!+k,\quad k=2,3,\ldots,N+1. $$

Так как $$k \le N+1$$, то число $$k$$ является делителем числа $$ (N+1)! $$, значит,

$$ (N+1)!+k = k\left(\frac{(N+1)!}{k}+1\right). $$

Оба множителя больше 1, следовательно, число $$ (N+1)!+k $$ составное.

Значит, для любого натурального $$N$$ существует ряд из $$N$$ последовательных чисел, каждое из которых составное.

Ответ

Для любого натурального числа $$N$$ существует ряд из $$N$$ последовательных составных чисел, например $$ (N+1)!+2,\ (N+1)!+3,\ \ldots,\ (N+1)!+(N+1). $$