Упр.10 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) $$\sin \alpha=\frac45,\quad \cos \beta=-\frac5{13},\quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,\quad \frac{\pi}{2}<\beta<\pi.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то $$\cos \alpha<0,$$ значит

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=-\frac35.$$

Так как $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi,$$ то $$\sin \beta>0,$$ значит

$$\sin \beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(-\frac5{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Теперь вычислим:

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha=2\cdot \frac45 \cdot \left(-\frac35\right)=-\frac{24}{25},$$

$$\cos 2\beta=\cos^2\beta-\sin^2\beta=\left(-\frac5{13}\right)^2-\left(\frac{12}{13}\right)^2=\frac{25}{169}-\frac{144}{169}=-\frac{119}{169},$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\frac45\cdot\left(-\frac5{13}\right)-\left(-\frac35\right)\cdot\frac{12}{13}=\frac{16}{65},$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac5{13}\right)-\frac45\cdot\frac{12}{13}=-\frac{33}{65}.$$

б) $$\cos \alpha=0{,}6,\quad \sin \beta=-\frac8{17},\quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,\quad \pi<\beta<\frac{3\pi}{2}.$$

Так как $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то $$\sin \alpha<0,$$ значит

$$\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt{1-(0{,}6)^2}=-\sqrt{0{,}64}=-0{,}8.$$

Так как $$\pi<\beta<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\cos \beta<0,$$ значит

$$\cos \beta=-\sqrt{1-\sin^2\beta}=-\sqrt{1-\left(-\frac8{17}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{64}{289}}=-\frac{15}{17}.$$

Теперь вычислим:

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha=2\cdot(-0{,}8)\cdot 0{,}6=-0{,}96,$$

$$\cos 2\beta=\cos^2\beta-\sin^2\beta=\left(-\frac{15}{17}\right)^2-\left(-\frac8{17}\right)^2=\frac{225}{289}-\frac{64}{289}=\frac{161}{289},$$

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=(-0{,}8)\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)-0{,}6\cdot\left(-\frac8{17}\right)=\frac{24}{85},$$

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=0{,}6\cdot\left(-\frac{15}{17}\right)-(-0{,}8)\cdot\left(-\frac8{17}\right)=-\frac{77}{85}.$$

Ответ

а) $$\sin 2\alpha=-\frac{24}{25},\quad \cos 2\beta=-\frac{119}{169},\quad \sin(\alpha-\beta)=\frac{16}{65},\quad \cos(\alpha+\beta)=-\frac{33}{65}.$$

б) $$\sin 2\alpha=-0{,}96,\quad \cos 2\beta=\frac{161}{289},\quad \sin(\alpha-\beta)=\frac{24}{85},\quad \cos(\alpha+\beta)=-\frac{77}{85}.$$