Упр.1 Глава 3 Вопросы и задачи на повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

2) Докажите, что функция F является первообразной для функции f на R:
а) f(x)=2x+3, F(x)=x^2+3x+1;
б) f(x)=sin(2x)+3, F(x)=-cos(2x)/2+3x;
в) f(x)=-x^3+5, F(x)=-x^4/4+5x+2;
г) f(x)=-cos(x/2)+1, F(x)=-2sin(x/2)+x.
3) Является ли функция F первообразной для функции f на заданном промежутке:
а) F(x)=x^2-x, f(x)=2x-1 на R;
б) F(x)=1/x^2-sin(x), f(x)-1/x^3-cos(x) на R;
в) F(x)=x^3+1, f(x)=x^4/4+x на R;
г) F(x)=x+cos(x), f(x)=1-sin(x) на R?

1) Функция $$F$$ называется первообразной для функции $$f$$ на заданном промежутке, если для всех $$x$$ из этого промежутка выполняется равенство $$F'(x)=f(x)$$.

2) Проверим, что в каждом случае производная функции $$F$$ совпадает с $$f$$.

1. $$F(x)=x^2+3x+1$$
   $$ F'(x)=2x+3=f(x). $$
2. $$F(x)=-\frac{\cos 2x}{2}+3x$$
   $$ F'(x)=-\frac{-2\sin 2x}{2}+3=\sin 2x+3=f(x). $$
3. $$F(x)=-\frac{x^4}{4}+5x+2$$
   $$ F'(x)=-\frac{1}{4}\cdot 4x^3+5=-x^3+5=f(x). $$
4. $$F(x)=-2\sin \frac{x}{2}+x$$
   $$ F'(x)=-2\cdot \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}+1=-\cos \frac{x}{2}+1=f(x). $$

3) Проверим, является ли $$F$$ первообразной для $$f$$.

1. $$F(x)=x^2-x$$
   $$ F'(x)=2x-1=f(x). $$
   Значит, да.
2. $$F(x)=\frac{1}{x^2}-\sin x$$
   $$ F'(x)=-\frac{2}{x^3}-\cos x \ne -\frac{1}{x^3}-\cos x=f(x). $$
   Значит, нет.
3. $$F(x)=x^3+1$$
   $$ F'(x)=3x^2 \ne \frac{x^4}{4}+x=f(x). $$
   Значит, нет.
4. $$F(x)=x+\cos x$$
   $$ F'(x)=1-\sin x=f(x). $$
   Значит, да.

Ответ

1) $$F$$ — первообразная для $$f$$, если $$F'(x)=f(x)$$.

2) а) да; б) да; в) да; г) да.

3) а) да; б) нет; в) нет; г) да.