Ответы на вопросы стр.84 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

2. Что такое стандартное нормальное распределение?
3. Приведите примеры случайных величин, имеющих нормальное распределение.
4. Чему равно математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей нормальное распределение N(a; сигма в квадрате)?
5. Выразите функцию распределения нормального закона N(a; сигма в квадрате) через функцию Лапласа Ф(х).
6. Запишите правило трёх сигм для нормально распределённой случайной величины.

1. Формула плотности нормального распределения:

   $$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}.$$

2. Стандартное нормальное распределение — это нормальное распределение с параметрами

   $$\mu=0,\qquad \sigma=1.$$

3. Примеры случайных величин, имеющих нормальное распределение: отклонения при стрельбе, погрешности измерений, случайные ошибки при измерениях.

4. Для случайной величины, имеющей распределение $$N(a;\sigma^2),$$ математическое ожидание и дисперсия равны:

   $$M(X)=a,\qquad D(X)=\sigma^2.$$

5. Функция распределения нормального закона $$N(a;\sigma^2)$$ выражается через функцию Лапласа $$\Phi(x)$$ так:

   $$F(x)=\Phi\!\left(\frac{x-a}{\sigma}\right).$$

6. Правило трёх сигм:

   практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале

   $$\mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma.$$

Ответ

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad \mu=0,\ \sigma=1,\quad M(X)=a,\ D(X)=\sigma^2,$$
$$F(x)=\Phi\!\left(\frac{x-a}{\sigma}\right),\quad \mu-3\sigma \le X \le \mu+3\sigma.$$