Ответы на вопросы стр.76 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Запишите формулу для плотности показательного распределения.
2. Приведите примеры случайных величин, имеющих показательное распределение.
3. Чему равно математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение $$\operatorname{Exp}(\alpha)$$?
4. Чему равна дисперсия случайной величины, имеющей показательное распределение $$\operatorname{Exp}(\alpha)$$?

1. Плотность показательного распределения с параметром $$\lambda>0$$ задаётся формулой

   $$f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}, \quad x\ge 0.$$

2. Примеры случайных величин, имеющих показательное распределение:

   • время между появлениями двух последовательных покупателей в магазине;
   • время безотказной работы прибора;
   • длительность телефонного разговора;
   • время ремонта оборудования, например телефона, если известно среднее время ремонта.

3. Математическое ожидание случайной величины, имеющей показательное распределение $$\mathrm{Exp}(\lambda)$$, равно

   $$\mathbb{E}X=\frac{1}{\lambda}.$$

4. Дисперсия случайной величины, имеющей показательное распределение $$\mathrm{Exp}(\lambda)$$, равна

   $$\mathrm{D}X=\frac{1}{\lambda^2}.$$

Ответ

1) $$f(x;\lambda)=\lambda e^{-\lambda x}, \quad x\ge 0,\ \lambda>0.$$

2) Время между появлениями покупателей, время безотказной работы прибора, длительность телефонного разговора, время ремонта оборудования.

3) $$\mathbb{E}X=\frac{1}{\lambda}.$$

4) $$\mathrm{D}X=\frac{1}{\lambda^2}.$$