Ответы на вопросы стр.73 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Запишите формулу для плотности равномерного распределения.
2. Приведите примеры случайных величин, имеющих равномерное распределение.
3. Чему равно математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей равномерное распределение $$U(a;b)$$?
4. Запишите функцию распределения равномерного закона $$U(a;b)$$.

1. Плотность равномерного распределения на отрезке $$[a;b]$$ задаётся формулой

   $$f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b,\\ 0, & x<a \text{ или } x>b. \end{cases}$$

2. Примеры случайных величин, имеющих равномерное распределение:

   • время ожидания пассажиром транспорта, курсирующего с постоянным интервалом;
   • ошибка округления числа до целого, равномерно распределённая на отрезке $$[-0{,}5;0{,}5]$$;
   • результат, равновероятно принимающий любое значение из некоторого интервала, например идеализированный результат броска игральной кости;
   • моменты отказов устройства для контроля за чистотой воздуха, равномерно распределённые в течение суток.

3. Для случайной величины $$X \sim U(a;b)$$ математическое ожидание и дисперсия равны:

   $$\mathbb{E}(X)=\frac{a+b}{2}, \qquad D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}.$$

4. Функция распределения равномерного закона $$U(a;b)$$ имеет вид

   $$F(x)= \begin{cases} 0, & x<a,\\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a \le x \le b,\\ 1, & x>b. \end{cases}$$

Ответ

$$f(x)=\begin{cases}\dfrac{1}{b-a}, & a \le x \le b,\\ 0, & x<a \text{ или } x>b,\end{cases}$$
$$\mathbb{E}(X)=\dfrac{a+b}{2}, \quad D(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12},$$
$$F(x)=\begin{cases}0, & x<a,\\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a \le x \le b,\\ 1, & x>b.\end{cases}$$