Ответы на вопросы стр.69 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Дисперсия случайной величины Х — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
2. Какие свойства дисперсии вы знаете?
Неотрицательность. Дисперсия всегда равна или больше нуля.
Нулевая дисперсия. Равна нулю, только если все значения одинаковы.
Чувствительность к выбросам. Сильно реагирует на экстремальные значения.
Аддитивность. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсий.
Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.
При сдвиге значений дисперсия случайной величины не меняется.
3. Как вычислить дисперсию, если известна плотность распределения вероятности p(х)?
4. Что называется стандартным отклонением случайной величины X?
Стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение) случайной величины Х — это показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания (аналога среднего арифметического с бесконечным числом исходов). Обычно стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии случайной величины.
5. Запишите неравенство трёх сигм.

1. Дисперсия случайной величины $$X$$ — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

2. Основные свойства дисперсии:

   • неотрицательность: $$D(X)\ge 0$$;
   • нулевая дисперсия бывает только тогда, когда все значения случайной величины одинаковы;
   • при добавлении постоянного числа дисперсия не меняется: $$D(X+c)=D(X)$$;
   • при умножении на число дисперсия умножается на квадрат этого числа: $$D(kX)=k^2D(X)$$;
   • для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий: $$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$$.

3. Если известна плотность распределения вероятности $$p(x)$$, то дисперсию находят по формуле:

   $$D(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2p(x)\,dx-\left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xp(x)\,dx\right)^2.$$

4. Стандартное отклонение случайной величины $$X$$ — это квадратный корень из дисперсии:

   $$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}.$$

5. Неравенство трёх сигм:

   $$P\left(|X-a|<3\sigma\right)\ge \frac{8}{9}\approx 0{,}888.$$

Ответ

1) Дисперсия — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
2) $$D(X)\ge 0$$, $$D(X+c)=D(X)$$, $$D(kX)=k^2D(X)$$, для независимых величин $$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$$.
3) $$D(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2p(x)\,dx-\left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xp(x)\,dx\right)^2.$$
4) $$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}.$$
5) $$P\left(|X-a|<3\sigma\right)\ge \frac{8}{9}\approx 0{,}888.$$