Ответы на вопросы стр.69 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Что называется дисперсией случайной величины $$X$$?
2. Какие свойства дисперсии вы знаете?
3. Как вычислить дисперсию, если известна плотность распределения вероятности $$p(x)$$?
4. Что называется стандартным отклонением случайной величины $$X$$?
5. Запишите неравенство трёх сигм.

1. Дисперсия случайной величины $$X$$ — это мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.

2. Основные свойства дисперсии:

   • неотрицательность: $$D(X)\ge 0$$;
   • нулевая дисперсия бывает только тогда, когда все значения случайной величины одинаковы;
   • при добавлении постоянного числа дисперсия не меняется: $$D(X+c)=D(X)$$;
   • при умножении на число дисперсия умножается на квадрат этого числа: $$D(kX)=k^2D(X)$$;
   • для независимых случайных величин дисперсия суммы равна сумме дисперсий: $$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$$.

3. Если известна плотность распределения вероятности $$p(x)$$, то дисперсию находят по формуле:

   $$D(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2p(x)\,dx-\left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xp(x)\,dx\right)^2.$$

4. Стандартное отклонение случайной величины $$X$$ — это квадратный корень из дисперсии:

   $$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}.$$

5. Неравенство трёх сигм:

   $$P\left(|X-a|<3\sigma\right)\ge \frac{8}{9}\approx 0{,}888.$$

Ответ

1) Дисперсия — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
2) $$D(X)\ge 0$$, $$D(X+c)=D(X)$$, $$D(kX)=k^2D(X)$$, для независимых величин $$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$$.
3) $$D(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x^2p(x)\,dx-\left(\int\limits_{-\infty}^{+\infty} xp(x)\,dx\right)^2.$$
4) $$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}.$$
5) $$P\left(|X-a|<3\sigma\right)\ge \frac{8}{9}\approx 0{,}888.$$