Ответы на вопросы стр.67 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Как определяется математическое ожидание непрерывной случайной величины?
2. В чем состоит физический смысл математического ожидания?
3. Может ли математическое ожидание быть отрицательным? Приведите пример.
4. Какие свойства математического ожидания вы знаете?

1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется через её плотность вероятности:

$$M(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx,$$

где $$f(x)$$ — плотность распределения случайной величины $$X$$.

2. Физический смысл математического ожидания — это среднее значение случайной величины, то значение, которое можно использовать вместо неё в приближённых расчётах.

3. Может ли математическое ожидание быть отрицательным? Да, может. Например, если выигрыш составляет $$100$$ рублей с вероятностью $$0{,}3$$, а проигрыш $$50$$ рублей с вероятностью $$0{,}7$$, то

$$M(X)=100\cdot 0{,}3+(-50)\cdot 0{,}7=30-35=-5.$$

Значит, математическое ожидание отрицательно.

4. Свойства математического ожидания:

• $$M(C)=C,$$ где $$C$$ — константа;
• $$M(aX+b)=aM(X)+b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — числа;
• $$M(X+Y)=M(X)+M(Y);$$
• для независимых величин $$M(XY)=M(X)\cdot M(Y);$$
• если $$X\le Y,$$ то $$M(X)\le M(Y).$$

Ответ

1) $$M(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx.$$
2) Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины.
3) Да, может; например, $$M(X)=-5.$$
4) $$M(C)=C,$$ $$M(aX+b)=aM(X)+b,$$ $$M(X+Y)=M(X)+M(Y),$$ при независимых $$X$$ и $$Y$$: $$M(XY)=M(X)\cdot M(Y),$$ если $$X\le Y,$$ то $$M(X)\le M(Y).$$