Ответы на вопросы стр.67 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)
Математическое ожидание непрерывной случайной величины (обозначается как M(X) или реже E(X)) определяется через плотность вероятности случайной величины. Это среднее значение, вокруг которого группируются остальные возможные значения величины.
2. В чем состоит физический смысл математического ожидания?
Физический смысл математического ожидания — среднее значение случай-ной величины, то значение, которое может быть использовано вместо конкретного значения, принимаемого случайной величиной, в приблизительных расчётах или оценках.
3. Может ли математическое ожидание быть отрицательным? Приведи-те пример.
Да, математическое ожидание может быть отрицательным. Это означает, что в среднем при многократном повторении эксперимента будет получаться отрицательный результат.
Пример: игра, в которой выигрыш составляет 100 рублей с вероятностью 0,3, а проигрыш — 50 рублей с вероятностью 0,7. В этом случае математическое ожидание равно -5, несмотря на то что выигрыш в два раза больше проигрыша.
4. Какие свойства математического ожидания вы знаете?
1. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется через её плотность вероятности:
$$M(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx,$$
где $$f(x)$$ — плотность распределения случайной величины $$X$$.
2. Физический смысл математического ожидания — это среднее значение случайной величины, то значение, которое можно использовать вместо неё в приближённых расчётах.
3. Может ли математическое ожидание быть отрицательным? Да, может. Например, если выигрыш составляет $$100$$ рублей с вероятностью $$0{,}3$$, а проигрыш $$50$$ рублей с вероятностью $$0{,}7$$, то
$$M(X)=100\cdot 0{,}3+(-50)\cdot 0{,}7=30-35=-5.$$
Значит, математическое ожидание отрицательно.
4. Свойства математического ожидания:
- $$M(C)=C,$$ где $$C$$ — константа;
- $$M(aX+b)=aM(X)+b,$$ где $$a$$ и $$b$$ — числа;
- $$M(X+Y)=M(X)+M(Y);$$
- для независимых величин $$M(XY)=M(X)\cdot M(Y);$$
- если $$X\le Y,$$ то $$M(X)\le M(Y).$$
Ответ
1) $$M(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx.$$
2) Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины.
3) Да, может; например, $$M(X)=-5.$$
4) $$M(C)=C,$$ $$M(aX+b)=aM(X)+b,$$ $$M(X+Y)=M(X)+M(Y),$$ при независимых $$X$$ и $$Y$$: $$M(XY)=M(X)\cdot M(Y),$$ если $$X\le Y,$$ то $$M(X)\le M(Y).$$
