Ответы на вопросы стр.106 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Ковариация случайных величин (корреляционный момент) — мера зависимости двух случайных величин. Это мера совместной изменчивости двух вели-чин.
2. Чему равна ковариация независимых случайных величин?
Ковариация независимых случайных величин равна нулю. Это следует из определения ковариации и свойства математического ожидания произведения независимых величин: Cov(X, Y) = E[XY] — E[X] * E[Y] = 0.
3. Какие свойства ковариации вы знаете?
Некоторые свойства ковариации:
• Симметричность: Cov(X,Y) = Cov(Y,X) — порядок переменных не влияет на результат.
• Линейность: Cov(aX + b, cY + d) = ac х Cov(X,Y) — умножение перемен-ных на константы масштабирует ковариацию, а прибавление констант не вли-яет на результат.
• Аддитивность: Cov(X + Y, Z) = Cov(X,Z) + Cov(Y,Z) — ковариация суммы переменных равна сумме ковариаций.
• Самоковариация: Cov(X,X) = Var(X) — ковариация переменной с самой собой равна её дисперсии.
• Масштабируемость: изменение единиц измерения (например, переход от рублей к тысячам рублей) пропорционально влияет на значение ковариации.
• Если случайные величины независимы, то их ковариация всегда равна нулю. Однако обратное утверждение неверно: нулевая ковариация не гаран-тирует независимость, это лишь указывает, что между величинами нет линей-ной связи.
4. Почему по величине ковариации нельзя судить о силе зависимости случайных величин?
Ковариация — мера совместной изменчивости двух случайных величин, но её величина не нормирована, и её численные значения зависят от единиц из-мерения величин.

Подробный ответ

Ковариацией случайных величин $$X$$ и $$Y$$ называют величину
$$\operatorname{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}(XY)-\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y).$$
Она характеризует совместную изменчивость случайных величин.
Если случайные величины независимы, то
$$\mathbb{E}(XY)=\mathbb{E}(X)\mathbb{E}(Y),$$
поэтому
$$\operatorname{Cov}(X,Y)=0.$$
Основные свойства ковариации:
- $$\operatorname{Cov}(X,Y)=\operatorname{Cov}(Y,X)$$ — симметричность;
- $$\operatorname{Cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\operatorname{Cov}(X,Y)$$ — линейность;
- $$\operatorname{Cov}(X+Y,Z)=\operatorname{Cov}(X,Z)+\operatorname{Cov}(Y,Z)$$ — аддитивность;
- $$\operatorname{Cov}(X,X)=\operatorname{Var}(X)$$ — ковариация величины самой с собой равна её дисперсии.
По величине ковариации нельзя судить о силе зависимости, потому что она не нормирована и зависит от единиц измерения случайных величин. Кроме того, нулевая ковариация не означает независимость.