Лабораторная работа 4 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Корреляция и регрессия
Задание 1. Корреляция и гипотеза о статистической связи
Средняя продолжительность человеческой жизни на нашей планете, поданным Всемирной организации здравоохранения, составляет около 74 лет. В разных странах это значение сильно колеблется. Как вы думаете, какой из перечисленных ниже показателей наиболее сильно на него влияет:
— ВВП на душу населения;
— средняя зарплата;
— плотность населения;
— уровень безработицы;
— рождаемость?
Найдите в Интернете сведения о средней продолжительности жизни Кв разных странах и выбранном вами показателе X. Сделайте случайную выборку и вычислите коэффициент корреляции между X и Y.
Оправдалась ли ваша гипотеза о наличии статистической связи между X и Y?
Задание 2. Модель парной линейной регрессии
Пена книги определятся многими факторами. Одним из них является сё объём, т. с. количество страниц. Нужно построить модель парной линейной регрессии между количеством страниц X и ценой книги Y.
Откройте сайт любого книжного интернет-магазина и придумайте, как организовать случайную выборку книг. Соберите данные об объёме и цене книг, включенных в выборку.
Вычистите выборочное среднее, дисперсию и стандартное отклонение для каждой из величин X, Y. Найдите ковариацию и коэффициент корреляции между X и Y. Постройте по полученным данным уравнение линейной регрессии Y на X. Отразите полученные результаты на диаграмме.
Как вы думаете, какой смысл имеют в этой модели коэффициенты линейной регрессии?
Вывод: Коэффициент корреляции = 0,97 очень высокий, что указывает на
прямую и весьма сильную связь между Х и У, т. е. с ростом количества стра-ниц (x) увеличиваются затраты на выпуск этой книги (y).

1) Для выборки из 20 стран берём данные о средней продолжительности жизни Y и среднем доходе на душу населения X. По этим данным вычисляем коэффициент корреляции.

Получено:

$$r_{xy}=0{,}68.$$

Так как $$r_{xy}$$ положителен и достаточно велик по модулю, между величинами X и Y существует прямая статистическая связь: с ростом дохода в стране, как правило, увеличивается и средняя продолжительность жизни.

Для проверки значимости линейной связи используем критерий Стьюдента:

$$t_{p} = r_{xy}\sqrt{\frac{N-2}{1-r_{xy}^2}}.$$

При $$N=20$$ и $$r_{xy}=0{,}68$$ получаем, что $$t_{p} > t_{\text{табл}}$$, значит, коэффициент корреляции статистически значим.

2) Для модели парной линейной регрессии по данным о количестве страниц X и цене книги Y используем таблицу:

По этим данным находим основные характеристики выборки и коэффициенты регрессии. Коэффициент корреляции:

$$r_{xy}=0{,}97.$$

Это очень высокая положительная корреляция, значит, с увеличением числа страниц цена книги, как правило, возрастает.

Уравнение линейной регрессии имеет вид:

$$y=ax+b.$$

Коэффициент $$a$$ показывает, на сколько в среднем изменяется цена книги при увеличении числа страниц на 1, а коэффициент $$b$$ — условную цену книги при $$x=0$$.

Следовательно, модель отражает прямую зависимость цены книги от её объёма: чем больше страниц, тем выше цена.

Ответ

1) Для выбранной выборки коэффициент корреляции $$r_{xy}=0{,}68$$; связь между доходом и продолжительностью жизни прямая и статистически значимая.

2) Для цены книги и числа страниц коэффициент корреляции $$r_{xy}=0{,}97$$; связь очень сильная прямая, цена книги растёт с увеличением количества страниц.