Лабораторная работа 3 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)
Моделирование случайных величин
Задание 1. Моделирование показательной случайной величины
Смоделируйте в электронной таблице 500 значений показательной случайной величины с параметром X.
Вычислите выборочные среднее, дисперсию и стандартное отклонение.
Постройте гистограмму частот и плотность распределения.
Сравните полученные результаты с теоретическими.
Этапы выполнения задания:
1. Введите в ячейку D1 значение X = 2.
2. Столбец А заполните 500 случайными числами, равномерно распределёнными на промежутке (0; 1). Используйте для этого функцию СЛЧИС() (рис. 43).
3. Получите в столбце В из равномерно распределённой случайной величины X показательную случайную величину Y. Для этого введите в ячейку В1 и скопируйте вниз формулу
=—LN(1—А1)/$D$l.
Обратите внимание на использование абсолютного адреса $D$1.
4. Вычислите в ячейках С2, СЗ и С4 выборочные среднее, дисперсию и стандартное отклонение полученной выборки.
5. Вспомните, как выражаются через параметр X математическое ожидание, дисперсия и стандартное отклонение показательного закона. Вычислите их в ячейках D2, D3 и D4 и сравните с выборочными характеристиками.
6. Постройте на одном графике гистограмму частот и график плотности показательного распределения с заданным параметром X.
7. Изменяя значение X, проследите за поведением случайной выборки и её характеристик.
Задание 2. Моделирование нормальной случайной величины
Смоделируйте в электронной таблице 500 значений нормальной случайной величины с параметрами а и сигма в квадрате
Вычислите выборочные среднее, дисперсию и стандартное отклонение.
Постройте гистограмму частот и плотность распределения.
Сравните полученные результаты с теоретическими.
При уменьшении параметра a кривая, не изменяя формы, смещается влево, при увеличении – вправо. С ростом сигма максимальное значение f(x) снижается, кривая становится более пологой. Площадь фигуры, заключённой между любой нормальной кривой и осью абсцисс, в силу выполнения условия нормировки, стремится к 1.
Для моделирования показательной случайной величины с параметром $$\lambda=2$$ в ячейку $$D1$$ вводим значение $$2$$.
В столбец $$A$$ заносим 500 случайных чисел, равномерно распределённых на промежутке $$\left(0;1\right)$$, с помощью функции СЛЧИС().
В столбце $$B$$ получаем показательную случайную величину по формуле
$$ =-LN(1-A1)/$D$1 $$
Формулу копируем вниз на 500 строк.
Вычисляем выборочные характеристики:
$$ \overline{x}=\text{СРЗНАЧ}(\text{выборка}),\quad D=\text{ДИСП}(\text{выборка}),\quad \sigma=\text{СТАНДОТКЛОН}(\text{выборка}). $$
Теоретические характеристики показательного распределения:
$$ M(X)=\frac{1}{\lambda},\quad D(X)=\frac{1}{\lambda^2},\quad \sigma(X)=\frac{1}{\lambda}. $$
При $$\lambda=2$$ получаем:
$$ M(X)=\frac12,\quad D(X)=\frac14,\quad \sigma(X)=\frac12. $$
Строим гистограмму частот и график плотности показательного распределения
$$ f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x\ge 0. $$
Для моделирования нормальной случайной величины в электронной таблице записываем 500 значений с параметрами $$a$$ и $$\sigma^2$$.
Вычисляем выборочные среднее, дисперсию и стандартное отклонение по формулам:
$$ \overline{x}=\text{СРЗНАЧ}(\text{выборка}),\quad D=\text{ДИСП}(\text{выборка}),\quad \sigma=\text{СТАНДОТКЛОН}(\text{выборка}). $$
Теоретически для нормального распределения:
$$ M(X)=a,\quad D(X)=\sigma^2,\quad \sigma(X)=\sigma. $$
Строим гистограмму частот и график плотности нормального распределения:
$$ f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}}. $$
При уменьшении параметра $$a$$ кривая смещается влево, при увеличении — вправо. При росте $$\sigma$$ максимум функции уменьшается, а кривая становится более пологой.
Ответ
Для показательного распределения при $$\lambda=2$$: $$M(X)=\frac12$$, $$D(X)=\frac14$$, $$\sigma(X)=\frac12$$. Для нормального распределения: $$M(X)=a$$, $$D(X)=\sigma^2$$, $$\sigma(X)=\sigma$$.
