Упр.85 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что уравнения линейной регрессии $$Y$$ на $$X$$ и $$X$$ на $$Y$$ дают одинаковые прямые тогда и только тогда, когда выборочный коэффициент корреляции этих величин равен $$1$$ или $$-1$$.

Уравнения линейной регрессии имеют вид:

$$y-\overline{y}=b_{yx}(x-\overline{x}),$$

$$x-\overline{x}=b_{xy}(y-\overline{y}).$$

Коэффициенты регрессии выражаются через выборочный коэффициент корреляции:

$$b_{yx}=r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}, \qquad b_{xy}=r\frac{\sigma_x}{\sigma_y}.$$

Если обе регрессии задают одну и ту же прямую, то их угловые коэффициенты должны быть взаимно обратными по смыслу записи, то есть

$$b_{yx}=\frac{1}{b_{xy}}.$$

Подставим выражения для коэффициентов:

$$r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}=\frac{1}{r\frac{\sigma_x}{\sigma_y}}.$$

Тогда

$$r\frac{\sigma_y}{\sigma_x}=\frac{\sigma_y}{r\sigma_x},$$

откуда

$$r^2=1.$$

Следовательно,

$$r=1 \quad \text{или} \quad r=-1.$$

Обратно, если $$r=1$$ или $$r=-1,$$ то

$$b_{yx}= \pm \frac{\sigma_y}{\sigma_x}, \qquad b_{xy}= \pm \frac{\sigma_x}{\sigma_y},$$

и обе регрессии задают одну и ту же прямую.

Ответ

Уравнения линейной регрессии $$Y$$ на $$X$$ и $$X$$ на $$Y$$ задают одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда выборочный коэффициент корреляции равен $$1$$ или $$-1$$.