Упр.82 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: Найдите для каждой из следующих выборок (табл. 63—68) уравнение линейной регрессии У на X и X на У. Постройте соответствующее облако точек и найденные прямые.
Для уравнения линейной регрессии $$y=ax+b$$ используем формулы
$$a=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x^2}, \qquad b=\overline y-a\overline x.$$
Для регрессии $$x=ky+l$$ аналогично
$$k=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_y^2}, \qquad l=\overline x-k\overline y.$$
а) $$\overline x=3{,}5,\ \overline y=2{,}5,\ \sigma_x^2=2{,}25,\ \sigma_y^2=0{,}25,\ \operatorname{cov}(x,y)=0{,}75.$$
Тогда
$$a=\frac{0{,}75}{2{,}25}=\frac13,\qquad b=2{,}5-\frac13\cdot 3{,}5=\frac13.$$
Значит,
$$y=\frac13x+\frac13.$$
Для обратной регрессии
$$k=\frac{0{,}75}{0{,}25}=3,\qquad l=3{,}5-3\cdot 2{,}5=-4.$$
Следовательно,
$$x=3y-4.$$
б) $$\overline x=\frac{10}{3},\ \overline y=\frac43,\ \sigma_x^2=\frac{14}{9},\ \sigma_y^2=\frac{5}{9},\ \operatorname{cov}(x,y)=-\frac{28}{9}.$$
Тогда
$$a=\frac{-28/9}{14/9}=-2,\qquad b=\frac43-(-2)\cdot\frac{10}{3}=8.$$
Получаем
$$y=-2x+8.$$
Для обратной регрессии
$$k=\frac{-28/9}{5/9}=-\frac{28}{5},\qquad l=\frac{10}{3}-\left(-\frac{28}{5}\right)\cdot\frac43=\frac{26}{5}.$$
Значит,
$$x=-\frac{28}{5}y+\frac{26}{5}.$$
в) $$\overline x=2,\ \overline y=\frac43,\ \sigma_x^2=\frac23,\ \sigma_y^2=\frac29,\ \operatorname{cov}(x,y)=0.$$
Тогда
$$a=0,\qquad b=\frac43.$$
Следовательно,
$$y=\frac43.$$
Для обратной регрессии
$$k=0,\qquad l=2,$$
то есть
$$x=2.$$
г) $$\overline x=2,\ \overline y=1,\ \sigma_x^2=2,\ \sigma_y^2=\frac45,\ \operatorname{cov}(x,y)=\frac25.$$
Тогда
$$a=\frac{2/5}{2}=\frac15,\qquad b=1-\frac15\cdot 2=\frac35.$$
Получаем
$$y=\frac15x+\frac35.$$
Для обратной регрессии
$$k=\frac{2/5}{4/5}=\frac12,\qquad l=2-\frac12\cdot 1=\frac32.$$
Значит,
$$x=\frac12y+\frac32.$$
д) $$\overline x=2,\ \overline y=2,\ \sigma_x^2=2,\ \sigma_y^2=6,\ \operatorname{cov}(x,y)=0.$$
Тогда
$$a=0,\qquad b=2,$$
то есть
$$y=2.$$
Для обратной регрессии
$$k=0,\qquad l=2,$$
следовательно,
$$x=2.$$
Во всех пунктах облако точек и найденные прямые строятся по соответствующим выборкам из таблиц 63—68.
Ответ
а) $$y=\frac13x+\frac13,\quad x=3y-4$$;
б) $$y=-2x+8,\quad x=-\frac{28}{5}y+\frac{26}{5}$$;
в) $$y=\frac43,\quad x=2$$;
г) $$y=\frac15x+\frac35,\quad x=\frac12y+\frac32$$;
д) $$y=2,\quad x=2$$.
