Упр.79 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите выборочный коэффициент корреляции между этими двумя оценками. Какие выводы можно сделать из полученного результата?

Подробный ответ

Найдём выборочные средние:

$$\overline{x}=2\cdot 0{,}01+3\cdot(0{,}16+0{,}24+0{,}01+0{,}02)+4\cdot(0{,}04+0{,}22+0{,}10+0{,}03)+5\cdot(0{,}12+0{,}05)=3{,}72,$$

$$\overline{y}=55\cdot(0{,}01+0{,}16)+65\cdot(0{,}24+0{,}04)+75\cdot(0{,}01+0{,}22)+85\cdot(0{,}02+0{,}10+0{,}03)+95\cdot(0{,}03+0{,}05)=72{,}8.$$

Найдём средние квадраты:

$$\overline{x^2}=2^2\cdot 0{,}01+3^2\cdot 0{,}43+4^2\cdot 0{,}39+5^2\cdot 0{,}17=14{,}4,$$

$$\overline{y^2}=55^2\cdot 0{,}17+65^2\cdot 0{,}28+75^2\cdot 0{,}23+85^2\cdot 0{,}24+95^2\cdot 0{,}08=5447.$$

Тогда дисперсии равны:

$$\sigma_x^2=\overline{x^2}-\overline{x}^2=14{,}4-3{,}72^2=0{,}562,$$

$$\sigma_y^2=\overline{y^2}-\overline{y}^2=5447-72{,}8^2=147{,}16.$$

Найдём математическое ожидание произведения:

$$\overline{xy}=2\cdot 55\cdot 0{,}01+3\cdot 55\cdot 0{,}16+3\cdot 65\cdot 0{,}24+3\cdot 75\cdot 0{,}01+3\cdot 85\cdot 0{,}02+4\cdot(65\cdot 0{,}04+75\cdot 0{,}02+85\cdot 0{,}17+95\cdot 0{,}03)+5\cdot(85\cdot 0{,}12+95\cdot 0{,}05)=278{,}2.$$

Ковариация:

$$\operatorname{cov}(x,y)=\overline{xy}-\overline{x}\,\overline{y}=278{,}2-3{,}72\cdot 72{,}8=7{,}4.$$

Выборочный коэффициент корреляции:

$$r=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}}=\frac{7{,}4}{\sqrt{0{,}562\cdot 147{,}16}}\approx \frac{7{,}4}{9{,}1}\approx 0{,}81.$$

Полученное значение близко к 1, значит, между текущими отметками и баллом ЕГЭ по математике существует сильная положительная линейная связь: чем выше текущие отметки, тем, как правило, выше результат ЕГЭ.