Упр.79 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Администрация школы решила проверить, насколько сильно балл, полученный на ЕГЭ по математике, зависит от текущих отметок ученика. Для этого была сделана выборка из 100 выпускников, по которой составлена совместная таблица абсолютных частот (табл. 60). Найдите выборочный коэффициент корреляции между этими двумя оценками. Какие выводы можно сделать из полученного результата?

Подробный ответ

Найдём выборочные средние:

$$\overline{x}=2\cdot 0{,}01+3\cdot(0{,}16+0{,}24+0{,}01+0{,}02)+4\cdot(0{,}04+0{,}22+0{,}10+0{,}03)+5\cdot(0{,}12+0{,}05)=3{,}72,$$

$$\overline{y}=55\cdot(0{,}01+0{,}16)+65\cdot(0{,}24+0{,}04)+75\cdot(0{,}01+0{,}22)+85\cdot(0{,}02+0{,}10+0{,}03)+95\cdot(0{,}03+0{,}05)=72{,}8.$$

Найдём средние квадраты:

$$\overline{x^2}=2^2\cdot 0{,}01+3^2\cdot 0{,}43+4^2\cdot 0{,}39+5^2\cdot 0{,}17=14{,}4,$$

$$\overline{y^2}=55^2\cdot 0{,}17+65^2\cdot 0{,}28+75^2\cdot 0{,}23+85^2\cdot 0{,}24+95^2\cdot 0{,}08=5447.$$

Тогда дисперсии равны:

$$\sigma_x^2=\overline{x^2}-\overline{x}^2=14{,}4-3{,}72^2=0{,}562,$$

$$\sigma_y^2=\overline{y^2}-\overline{y}^2=5447-72{,}8^2=147{,}16.$$

Найдём математическое ожидание произведения:

$$\overline{xy}=2\cdot 55\cdot 0{,}01+3\cdot 55\cdot 0{,}16+3\cdot 65\cdot 0{,}24+3\cdot 75\cdot 0{,}01+3\cdot 85\cdot 0{,}02+4\cdot(65\cdot 0{,}04+75\cdot 0{,}02+85\cdot 0{,}17+95\cdot 0{,}03)+5\cdot(85\cdot 0{,}12+95\cdot 0{,}05)=278{,}2.$$

Ковариация:

$$\operatorname{cov}(x,y)=\overline{xy}-\overline{x}\,\overline{y}=278{,}2-3{,}72\cdot 72{,}8=7{,}4.$$

Выборочный коэффициент корреляции:

$$r=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}}=\frac{7{,}4}{\sqrt{0{,}562\cdot 147{,}16}}\approx \frac{7{,}4}{9{,}1}\approx 0{,}81.$$

Полученное значение близко к 1, значит, между текущими отметками и баллом ЕГЭ по математике существует сильная положительная линейная связь: чем выше текущие отметки, тем, как правило, выше результат ЕГЭ.