Упр.78 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

3, О, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 4.
За неделю перед этим, заполняя анкету для социологического обследования «Что читает молодёжь?», они указали количество книг, прочитанных ими с начала года:
2, 6, 4, 5, 5, 4, 2, 5, 4, 1.
Найдите выборочный коэффициент корреляции между этими величинами. Какие выводы можно сделать из полученного результата?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ число ошибок, а через $$y$$ — число прочитанных книг.

Даны пары наблюдений:

$$ (3,2),\ (0,6),\ (1,4),\ (1,5),\ (2,5),\ (3,4),\ (2,2),\ (1,5),\ (0,4),\ (4,1). $$

Найдём средние значения:

$$ \overline{x}=\frac{3+0+1+1+2+3+2+1+0+4}{10}=\frac{17}{10}=1{,}7, $$

$$ \overline{y}=\frac{2+6+4+5+5+4+2+5+4+1}{10}=\frac{38}{10}=3{,}8. $$

Вычислим средние квадраты:

$$ \overline{x^2}=\frac{3^2+0^2+1^2+1^2+2^2+3^2+2^2+1^2+0^2+4^2}{10} =\frac{45}{10}=4{,}5, $$

$$ \overline{y^2}=\frac{2^2+6^2+4^2+5^2+5^2+4^2+2^2+5^2+4^2+1^2}{10} =\frac{168}{10}=16{,}8. $$

Тогда дисперсии:

$$ \sigma_x^2=\overline{x^2}-\overline{x}^2=4{,}5-1{,}7^2=1{,}61, $$

$$ \sigma_y^2=\overline{y^2}-\overline{y}^2=16{,}8-3{,}8^2=2{,}36. $$

Найдём среднее произведение:

$$ \overline{xy}=\frac{3\cdot2+0\cdot6+1\cdot4+1\cdot5+2\cdot5+3\cdot4+2\cdot2+1\cdot5+0\cdot4+4\cdot1}{10} =\frac{50}{10}=5. $$

Ковариация:

$$ \operatorname{cov}(x,y)=\overline{xy}-\overline{x}\,\overline{y}=5-1{,}7\cdot3{,}8=-1{,}46. $$

Выборочный коэффициент корреляции:

$$ r=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}} =\frac{-1{,}46}{\sqrt{1{,}61\cdot2{,}36}} \approx -0{,}75. $$

Получено отрицательное значение, значит, между величинами есть заметная обратная связь: чем больше книг прочитал ученик, тем, как правило, меньше ошибок он сделал в диктанте.