Упр.78 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Десять одиннадцатиклассников писали Тотальный диктант и сделали следующее количество ошибок: 3, 0, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 4. За неделю перед этим, заполняя анкету для социологического обследования «Что читает молодёжь?», они указали количество книг, прочитанных ими с начала года: 2, 6, 4, 5, 5, 4, 2, 5, 4, 1. Найдите выборочный коэффициент корреляции между этими величинами. Какие выводы можно сделать из полученного результата?

Подробный ответ

Обозначим через $$x$$ число ошибок, а через $$y$$ — число прочитанных книг.

Даны пары наблюдений:

$$(3,2),\ (0,6),\ (1,4),\ (1,5),\ (2,5),\ (3,4),\ (2,2),\ (1,5),\ (0,4),\ (4,1).$$

Найдём средние значения:

$$\overline{x}=\frac{3+0+1+1+2+3+2+1+0+4}{10}=\frac{17}{10}=1{,}7,$$

$$\overline{y}=\frac{2+6+4+5+5+4+2+5+4+1}{10}=\frac{38}{10}=3{,}8.$$

Вычислим средние квадраты:

$$\overline{x^2}=\frac{3^2+0^2+1^2+1^2+2^2+3^2+2^2+1^2+0^2+4^2}{10} =\frac{45}{10}=4{,}5,$$

$$\overline{y^2}=\frac{2^2+6^2+4^2+5^2+5^2+4^2+2^2+5^2+4^2+1^2}{10} =\frac{168}{10}=16{,}8.$$

Тогда дисперсии:

$$\sigma_x^2=\overline{x^2}-\overline{x}^2=4{,}5-1{,}7^2=1{,}61,$$

$$\sigma_y^2=\overline{y^2}-\overline{y}^2=16{,}8-3{,}8^2=2{,}36.$$

Найдём среднее произведение:

$$\overline{xy}=\frac{3\cdot2+0\cdot6+1\cdot4+1\cdot5+2\cdot5+3\cdot4+2\cdot2+1\cdot5+0\cdot4+4\cdot1}{10} =\frac{50}{10}=5.$$

Ковариация:

$$\operatorname{cov}(x,y)=\overline{xy}-\overline{x}\,\overline{y}=5-1{,}7\cdot3{,}8=-1{,}46.$$

Выборочный коэффициент корреляции:

$$r=\frac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{\sigma_x^2\sigma_y^2}} =\frac{-1{,}46}{\sqrt{1{,}61\cdot2{,}36}} \approx -0{,}75.$$

Получено отрицательное значение, значит, между величинами есть заметная обратная связь: чем больше книг прочитал ученик, тем, как правило, меньше ошибок он сделал в диктанте.