Упр.77 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: Найдите выборочную ковариацию и выборочный коэффициент корреляции между величинами X, Y по заданной выборке (табл. 56—59)

Подробный ответ

а) $$\bar x=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3,$$ $$\bar y=\frac{5+5+5+5+5}{5}=5.$$
$$\overline{xy}=\frac{5+10+15+20+25}{5}=15,$$ $$\overline{x^2}=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2}{5}=11,$$ $$\overline{y^2}=\frac{5^2+5^2+5^2+5^2+5^2}{5}=25.$$
$$\operatorname{cov}(X,Y)=\overline{xy}-\bar x\bar y=15-3\cdot 5=0.$$
$$\sigma_x^2=\overline{x^2}-\bar x^2=11-9=2,$$ $$\sigma_y^2=\overline{y^2}-\bar y^2=25-25=0.$$
Так как $$\sigma_y=0,$$ коэффициент корреляции не определяется; при этом ковариация равна нулю.
б) $$\bar x=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3,$$ $$\bar y=\frac{3+6+9+12+15}{5}=9.$$
$$\overline{xy}=\frac{3+12+27+48+75}{5}=\frac{165}{5}=33,$$ $$\overline{x^2}=11,$$ $$\overline{y^2}=\frac{3^2+6^2+9^2+12^2+15^2}{5}=99.$$
$$\operatorname{cov}(X,Y)=33-3\cdot 9=6.$$
$$\sigma_x^2=11-9=2,$$ $$\sigma_y^2=99-81=18.$$
$$r=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_x\sigma_y}=\frac{6}{\sqrt{2\cdot 18}}=\frac{6}{6}=1.$$
в) $$\bar x=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3,$$ $$\bar y=\frac{0+1+0+1+0}{5}=\frac{2}{5}.$$
$$\overline{xy}=\frac{0+2+0+4+0}{5}=\frac{6}{5},$$ $$\overline{x^2}=11,$$ $$\overline{y^2}=\frac{0^2+1^2+0^2+1^2+0^2}{5}=\frac{2}{5}.$$
$$\operatorname{cov}(X,Y)=\frac{6}{5}-3\cdot \frac{2}{5}=0.$$
$$\sigma_x^2=11-9=2,$$ $$\sigma_y^2=\frac{2}{5}-\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{2}{5}-\frac{4}{25}=\frac{6}{25}.$$
$$r=\frac{0}{\sqrt{2\cdot \frac{6}{25}}}=0.$$