Упр.76 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Случайные величины $$X$$, $$Y$$ независимы и имеют распределение Пуассона с параметрами $$\alpha$$ и $$\mu$$ соответственно. Докажите, что случайная величина $$X+Y$$ будет распределена по закону Пуассона с параметром $$\alpha+\mu$$.

Пусть случайные величины $$X$$ и $$Y$$ независимы и распределены по закону Пуассона с параметрами $$\alpha$$ и $$\mu$$ соответственно. Тогда

$$P(X=k)=\frac{\alpha^k e^{-\alpha}}{k!}, \quad k=0,1,2,\dots$$

$$P(Y=m)=\frac{\mu^m e^{-\mu}}{m!}, \quad m=0,1,2,\dots$$

Обозначим $$Z=X+Y$$. Найдём вероятность того, что $$Z=n$$:

$$P(Z=n)=\sum_{k=0}^{n} P(X=k)P(Y=n-k).$$

Так как $$X$$ и $$Y$$ независимы, получаем

$$P(Z=n)=\sum_{k=0}^{n}\frac{\alpha^k e^{-\alpha}}{k!}\cdot \frac{\mu^{\,n-k} e^{-\mu}}{(n-k)!}.$$

Вынесем постоянные множители за знак суммы:

$$P(Z=n)=e^{-(\alpha+\mu)}\sum_{k=0}^{n}\frac{\alpha^k\mu^{\,n-k}}{k!(n-k)!}.$$

Приведём к биномиальному виду:

$$P(Z=n)=\frac{e^{-(\alpha+\mu)}}{n!}\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\alpha^k\mu^{\,n-k}.$$

По биному Ньютона

$$\sum_{k=0}^{n}\frac{n!}{k!(n-k)!}\alpha^k\mu^{\,n-k}=(\alpha+\mu)^n.$$

Следовательно,

$$P(Z=n)=\frac{(\alpha+\mu)^n e^{-(\alpha+\mu)}}{n!}, \quad n=0,1,2,\dots$$

Это и есть закон Пуассона с параметром $$\alpha+\mu$$.

Ответ

$$X+Y$$ распределена по закону Пуассона с параметром $$\alpha+\mu$$.