Упр.75 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Случайные величины $$X$$, $$Y$$ независимы и имеют биномиальные распределения $$\mathrm{Bin}(n,p)$$ и $$\mathrm{Bin}(m,p)$$ соответственно. Докажите, что случайная величина $$X+Y$$ будет иметь биномиальное распределение $$\mathrm{Bin}(n+m,p)$$.

Подробный ответ

Для биномиально распределённой случайной величины $$X \sim \operatorname{Bin}(n,p)$$ её производящая функция имеет вид

$$M_X(t)=(pe^t+q)^n,$$

где $$q=1-p.$$

Аналогично, если $$Y \sim \operatorname{Bin}(m,p),$$ то

$$M_Y(t)=(pe^t+q)^m.$$

Так как случайные величины $$X$$ и $$Y$$ независимы, то производящая функция суммы равна произведению производящих функций:

$$M_{X+Y}(t)=M_X(t)\cdot M_Y(t).$$

Тогда

$$M_{X+Y}(t)=(pe^t+q)^n\cdot (pe^t+q)^m=(pe^t+q)^{n+m}.$$

Это и есть производящая функция биномиального распределения $$\operatorname{Bin}(n+m,p).$$ Следовательно,

$$X+Y \sim \operatorname{Bin}(n+m,p).$$