Упр.74 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

а) X и W б) Х и Y в) V и W.
Используйте для этого их совместные законы распределения, полученные в упражнении 62.

Обозначим через $$X$$ число очков на первом кубике, через $$Y$$ — на втором, через $$W=\max(X,Y)$$, через $$V=\min(X,Y)$$.

1. а) Для величин $$X$$ и $$W$$.

   Найдём математическое ожидание и дисперсию $$W$$. Для $$W$$ возможны значения от $$1$$ до $$6$$, причём

   $$P(W=1)=\frac{1}{36},\quad P(W=2)=\frac{3}{36},\quad P(W=3)=\frac{5}{36},\quad P(W=4)=\frac{7}{36},\quad P(W=5)=\frac{9}{36},\quad P(W=6)=\frac{11}{36}.$$

   Тогда

   $$ E(W)=\frac{1\cdot1+2\cdot3+3\cdot5+4\cdot7+5\cdot9+6\cdot11}{36} =\frac{161}{36}. $$

   $$ E(W^2)=\frac{1^2\cdot1+2^2\cdot3+3^2\cdot5+4^2\cdot7+5^2\cdot9+6^2\cdot11}{36} =\frac{791}{36}. $$

   $$ D(W)=E(W^2)-E(W)^2=\frac{791}{36}-\left(\frac{161}{36}\right)^2=\frac{2555}{1296}. $$

   Так как $$E(X)=\frac{7}{2}$$ и $$D(X)=\frac{35}{12}$$, найдём $$E(XW)$$:

   $$ E(XW)=\frac{1}{36}(21+44+72+108+135+216)=\frac{596}{36}=\frac{149}{9}. $$

   $$ \operatorname{cov}(X,W)=E(XW)-E(X)\,E(W) =\frac{149}{9}-\frac{7}{2}\cdot\frac{161}{36} =\frac{35}{24}. $$

   $$ \rho(X,W)=\frac{\operatorname{cov}(X,W)}{\sqrt{D(X)D(W)}} =\frac{35}{24}\cdot\frac{1}{\sqrt{\frac{35}{12}\cdot\frac{2555}{1296}}} =\frac{3\sqrt{3}}{13}\approx 0{,}400. $$

2. б) Для величин $$X$$ и $$Y$$.

   Так как броски кубиков независимы, то $$X$$ и $$Y$$ независимы. Следовательно,

   $$ \operatorname{cov}(X,Y)=0,\qquad \rho(X,Y)=0. $$

3. в) Для величин $$V$$ и $$W$$.

   Для $$V=\min(X,Y)$$ имеем распределение:

   $$P(V=1)=\frac{11}{36},\quad P(V=2)=\frac{9}{36},\quad P(V=3)=\frac{7}{36},\quad P(V=4)=\frac{5}{36},\quad P(V=5)=\frac{3}{36},\quad P(V=6)=\frac{1}{36}.$$

   Тогда

   $$ E(V)=\frac{1\cdot11+2\cdot9+3\cdot7+4\cdot5+5\cdot3+6\cdot1}{36} =\frac{91}{36}. $$

   $$ E(V^2)=\frac{1^2\cdot11+2^2\cdot9+3^2\cdot7+4^2\cdot5+5^2\cdot3+6^2\cdot1}{36} =\frac{301}{36}, $$

   $$ D(V)=\frac{301}{36}-\left(\frac{91}{36}\right)^2=\frac{2555}{1296}. $$

   Из совместного распределения $$V$$ и $$W$$ получаем

   $$ E(VW)=\frac{1}{36}(11+16+27+40+25+36)=\frac{155}{18}. $$

   $$ \operatorname{cov}(V,W)=E(VW)-E(V)\,E(W) =\frac{155}{18}-\frac{91}{36}\cdot\frac{161}{36} =\frac{1225}{1296}. $$

   $$ \rho(V,W)=\frac{\operatorname{cov}(V,W)}{\sqrt{D(V)D(W)}} =\frac{1225}{1296}\cdot\frac{1}{\frac{2555}{1296}} =\frac{49}{102}\approx 0{,}480. $$

Ответ

а) $$\operatorname{cov}(X,W)=\frac{35}{24},\quad \rho(X,W)=\frac{3\sqrt{3}}{13}\approx 0{,}400$$;
б) $$\operatorname{cov}(X,Y)=0,\quad \rho(X,Y)=0$$;
в) $$\operatorname{cov}(V,W)=\frac{1225}{1296},\quad \rho(V,W)=\frac{49}{102}\approx 0{,}480$$.