Упр.73 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Бросают два кубика. Случайная величина $$X$$ — число, выпавшее на первом кубике; $$Y$$ — число, выпавшее на втором кубике. Найдите ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин: а) $$X$$ и $$Y$$; б) $$X$$ и $$X+Y$$; в) $$X$$ и $$X-Y$$; г) $$X+Y$$ и $$X-Y$$. Используйте для этого независимость $$X$$ и $$Y$$.

Так как бросают два кубика независимо, то случайные величины $$X$$ и $$Y$$ независимы. Поэтому

$$\operatorname{cov}(X,Y)=0,\qquad \rho(X,Y)=0.$$

Найдём характеристики одной равномерной дискретной величины на множестве $$\{1,2,3,4,5,6\}$$:

$$E(X)=E(Y)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2},$$

$$E(X^2)=E(Y^2)=\frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6}=\frac{91}{6},$$

$$D(X)=D(Y)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=\frac{91}{6}-\left(\frac{7}{2}\right)^2=\frac{35}{12}.$$

1. Для $$X$$ и $$Y$$:

   $$\operatorname{cov}(X,Y)=0,\qquad \rho(X,Y)=0.$$

2. Для $$X$$ и $$X+Y$$:

   $$\operatorname{cov}(X,X+Y)=\operatorname{cov}(X,X)+\operatorname{cov}(X,Y)=D(X)+0=\frac{35}{12}.$$

   $$D(X+Y)=D(X)+D(Y)=\frac{35}{12}+\frac{35}{12}=\frac{35}{6}.$$

   $$\rho(X,X+Y)=\frac{\operatorname{cov}(X,X+Y)}{\sqrt{D(X)\,D(X+Y)}}=\frac{\frac{35}{12}}{\sqrt{\frac{35}{12}\cdot\frac{35}{6}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

3. Для $$X$$ и $$X-Y$$:

   $$\operatorname{cov}(X,X-Y)=\operatorname{cov}(X,X)-\operatorname{cov}(X,Y)=D(X)-0=\frac{35}{12}.$$

   $$D(X-Y)=D(X)+D(Y)=\frac{35}{6}.$$

   $$\rho(X,X-Y)=\frac{\operatorname{cov}(X,X-Y)}{\sqrt{D(X)\,D(X-Y)}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

4. Для $$X+Y$$ и $$X-Y$$:

   $$\operatorname{cov}(X+Y,X-Y)=\operatorname{cov}(X,X)-\operatorname{cov}(X,Y)+\operatorname{cov}(Y,X)-\operatorname{cov}(Y,Y).$$

   Так как $$\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{cov}(Y,X)=0$$, получаем

   $$\operatorname{cov}(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y)=0.$$

   Следовательно,

   $$\rho(X+Y,X-Y)=0.$$

Ответ

$$\begin{aligned} &\text{а) } \operatorname{cov}(X,Y)=0,\quad \rho(X,Y)=0;\\ &\text{б) } \operatorname{cov}(X,X+Y)=\frac{35}{12},\quad \rho(X,X+Y)=\frac{1}{\sqrt{2}};\\ &\text{в) } \operatorname{cov}(X,X-Y)=\frac{35}{12},\quad \rho(X,X-Y)=\frac{1}{\sqrt{2}};\\ &\text{г) } \operatorname{cov}(X+Y,X-Y)=0,\quad \rho(X+Y,X-Y)=0. \end{aligned}$$