Упр.72 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Будем называть корреляцией случайных событий коэффициент корреляции их индикаторов (напомним, что индикатором события А называется случайная величина, которая равна 1, когда А наступает, и равна 0, когда А не наступает). Вероятность, что студент сдаст в предстоящую сессию первый экзамен, равна 0,5; что сдаст второй экзамен — 0,3. Корреляция между успешной сдачей первого и второго экзаменов равна 0,4. Чему равна вероятность, что он сдаст оба экзамена?

Обозначим через $$A$$ событие «студент сдаст первый экзамен», а через $$B$$ — событие «студент сдаст второй экзамен».

Для индикаторов событий дисперсия равна $$p(1-p)$$, поэтому

$$\sigma_A=\sqrt{P(A)\bigl(1-P(A)\bigr)}=\sqrt{0{,}5\cdot 0{,}5}=0{,}5,$$
$$\sigma_B=\sqrt{P(B)\bigl(1-P(B)\bigr)}=\sqrt{0{,}3\cdot 0{,}7}=\sqrt{0{,}21}\approx 0{,}458.$$

По условию коэффициент корреляции равен $$0{,}4$$, значит

$$\operatorname{cov}(A,B)=0{,}4\cdot \sigma_A\cdot \sigma_B =0{,}4\cdot 0{,}5\cdot 0{,}458\approx 0{,}092.$$

С другой стороны, для индикаторов

$$\operatorname{cov}(A,B)=P(A\cap B)-P(A)\cdot P(B).$$

Тогда

$$P(A\cap B)=\operatorname{cov}(A,B)+P(A)\cdot P(B) =0{,}092+0{,}5\cdot 0{,}3 =0{,}242.$$

Ответ

$$0{,}242$$