Упр.70 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Для случайных величин $$X$$, $$Y$$ известны их математические ожидания, дисперсии и ковариация: $$E(X)=-2$$, $$E(Y)=6$$; $$D(X)=9$$, $$D(Y)=4$$; $$\operatorname{cov}(X,Y)=2$$. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $$Z$$: а) $$Z=X+Y$$; б) $$Z=X-Y$$; в) $$Z=2X+5Y$$; г) $$Z=3X-4Y$$.

Используем формулы:

$$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$$

$$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2ab\operatorname{cov}(X,Y)$$

Дано: $$E(X)=-2,\quad E(Y)=6,\quad D(X)=9,\quad D(Y)=4,\quad \operatorname{cov}(X,Y)=2.$$

1. $$Z=X+Y$$

   $$E(Z)=E(X)+E(Y)=-2+6=4$$

   $$D(Z)=D(X)+D(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y)=9+4+2\cdot 2=17$$

2. $$Z=X-Y$$

   $$E(Z)=E(X)-E(Y)=-2-6=-8$$

   $$D(Z)=D(X)+D(Y)-2\operatorname{cov}(X,Y)=9+4-2\cdot 2=9$$

3. $$Z=2X+5Y$$

   $$E(Z)=2E(X)+5E(Y)=2\cdot(-2)+5\cdot 6=26$$

   $$D(Z)=2^2D(X)+5^2D(Y)+2\cdot 2\cdot 5\operatorname{cov}(X,Y)=4\cdot 9+25\cdot 4+20\cdot 2=176$$

4. $$Z=3X-4Y$$

   $$E(Z)=3E(X)-4E(Y)=3\cdot(-2)-4\cdot 6=-30$$

   $$D(Z)=3^2D(X)+(-4)^2D(Y)+2\cdot 3\cdot(-4)\operatorname{cov}(X,Y)=9\cdot 9+16\cdot 4-24\cdot 2=97$$

Ответ

а) $$E(Z)=4,\ D(Z)=17$$; б) $$E(Z)=-8,\ D(Z)=9$$; в) $$E(Z)=26,\ D(Z)=176$$; г) $$E(Z)=-30,\ D(Z)=97$$.