Упр.69 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Для независимых случайных величин $$X$$ и $$Y$$ известны их математические ожидания и дисперсии: $$E(X)=3$$, $$E(Y)=5$$; $$D(X)=2$$, $$D(Y)=4$$. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $$Z$$: а) $$Z=X+Y$$; б) $$Z=X-Y$$; в) $$Z=2X+5Y$$; г) $$Z=3X-4Y$$.

Для независимых случайных величин $$X$$ и $$Y$$ используем свойства:

$$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y),$$

$$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y).$$

Дано: $$E(X)=3,$$ $$E(Y)=5,$$ $$D(X)=2,$$ $$D(Y)=4.$$

1. $$Z=X+Y$$

   $$E(Z)=E(X)+E(Y)=3+5=8,$$

   $$D(Z)=D(X)+D(Y)=2+4=6.$$

2. $$Z=X-Y$$

   $$E(Z)=E(X)-E(Y)=3-5=-2,$$

   $$D(Z)=D(X)+D(Y)=2+4=6.$$

3. $$Z=2X+5Y$$

   $$E(Z)=2E(X)+5E(Y)=2\cdot 3+5\cdot 5=31,$$

   $$D(Z)=2^2D(X)+5^2D(Y)=4\cdot 2+25\cdot 4=108.$$

4. $$Z=3X-4Y$$

   $$E(Z)=3E(X)-4E(Y)=3\cdot 3-4\cdot 5=-11,$$

   $$D(Z)=3^2D(X)+(-4)^2D(Y)=9\cdot 2+16\cdot 4=82.$$

Ответ

а) $$E(Z)=8,$$ $$D(Z)=6$$; б) $$E(Z)=-2,$$ $$D(Z)=6$$; в) $$E(Z)=31,$$ $$D(Z)=108$$; г) $$E(Z)=-11,$$ $$D(Z)=82$$.