Упр.68 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

а) соv(aX,Y) = cov(X,aY) = acov(X,Y)
б) cov(X + Y,Z) — cov(X,Z) + cov(Y,Z).

Используем определение ковариации:

$$\operatorname{cov}(X,Y)=E\bigl((X-E(X))(Y-E(Y))\bigr).$$

1. Докажем, что $$\operatorname{cov}(aX,Y)=a\,\operatorname{cov}(X,Y).$$

   $$ \operatorname{cov}(aX,Y)=E\bigl((aX-E(aX))(Y-E(Y))\bigr) $$
   $$ =E\bigl((aX-aE(X))(Y-E(Y))\bigr) $$
   $$ =E\bigl(a(X-E(X))(Y-E(Y))\bigr) =aE\bigl((X-E(X))(Y-E(Y))\bigr). $$

   Значит,

   $$\operatorname{cov}(aX,Y)=a\,\operatorname{cov}(X,Y).$$

   Аналогично

   $$\operatorname{cov}(X,aY)=a\,\operatorname{cov}(X,Y).$$

2. Докажем, что $$\operatorname{cov}(X+Y,Z)=\operatorname{cov}(X,Z)+\operatorname{cov}(Y,Z).$$

   $$ \operatorname{cov}(X+Y,Z)=E\bigl((X+Y-E(X+Y))(Z-E(Z))\bigr) $$
   $$ =E\bigl((X-E(X)+Y-E(Y))(Z-E(Z))\bigr) $$
   $$ =E\bigl((X-E(X))(Z-E(Z))\bigr)+E\bigl((Y-E(Y))(Z-E(Z))\bigr). $$

   Следовательно,

   $$\operatorname{cov}(X+Y,Z)=\operatorname{cov}(X,Z)+\operatorname{cov}(Y,Z).$$

Ответ

$$\operatorname{cov}(aX,Y)=\operatorname{cov}(X,aY)=a\,\operatorname{cov}(X,Y),$$
$$\operatorname{cov}(X+Y,Z)=\operatorname{cov}(X,Z)+\operatorname{cov}(Y,Z).$$