Упр.68 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что для любой константы $$a$$ и любых случайных величин $$X$$, $$Y$$, $$Z$$: а) $$\operatorname{cov}(aX,Y)=\operatorname{cov}(X,aY)=a\operatorname{cov}(X,Y)$$; б) $$\operatorname{cov}(X+Y,Z)=\operatorname{cov}(X,Z)+\operatorname{cov}(Y,Z)$$.

Используем определение ковариации:

$$\operatorname{cov}(X,Y)=E\bigl((X-E(X))(Y-E(Y))\bigr).$$

1. Докажем, что $$\operatorname{cov}(aX,Y)=a\,\operatorname{cov}(X,Y).$$

   $$\operatorname{cov}(aX,Y)=E\bigl((aX-E(aX))(Y-E(Y))\bigr)$$
   $$=E\bigl((aX-aE(X))(Y-E(Y))\bigr)$$
   $$=E\bigl(a(X-E(X))(Y-E(Y))\bigr) =aE\bigl((X-E(X))(Y-E(Y))\bigr).$$

   Значит,

   $$\operatorname{cov}(aX,Y)=a\,\operatorname{cov}(X,Y).$$

   Аналогично

   $$\operatorname{cov}(X,aY)=a\,\operatorname{cov}(X,Y).$$

2. Докажем, что $$\operatorname{cov}(X+Y,Z)=\operatorname{cov}(X,Z)+\operatorname{cov}(Y,Z).$$

   $$\operatorname{cov}(X+Y,Z)=E\bigl((X+Y-E(X+Y))(Z-E(Z))\bigr)$$
   $$=E\bigl((X-E(X)+Y-E(Y))(Z-E(Z))\bigr)$$
   $$=E\bigl((X-E(X))(Z-E(Z))\bigr)+E\bigl((Y-E(Y))(Z-E(Z))\bigr).$$

   Следовательно,

   $$\operatorname{cov}(X+Y,Z)=\operatorname{cov}(X,Z)+\operatorname{cov}(Y,Z).$$

Ответ

$$\operatorname{cov}(aX,Y)=\operatorname{cov}(X,aY)=a\,\operatorname{cov}(X,Y),$$
$$\operatorname{cov}(X+Y,Z)=\operatorname{cov}(X,Z)+\operatorname{cov}(Y,Z).$$