Упр.66 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Найдите ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин из упражнения 61.

Используем формулы:

$$\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)\cdot E(Y),$$

$$\rho(X,Y)=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma_X\cdot \sigma_Y}.$$

а)

$$E(XY)=(0\cdot(-1)\cdot 0{,}1)+(0\cdot 0\cdot 0{,}2)+(0\cdot 1\cdot 0{,}2)+$$
$$+(1\cdot(-1)\cdot 0{,}2)+(1\cdot 0\cdot 0{,}1)+(1\cdot 1\cdot 0{,}2)=-0{,}2+0{,}2=0.$$

$$E(X)=0\cdot(0{,}1+0{,}2+0{,}2)+1\cdot(0{,}2+0{,}1+0{,}2)=0{,}5,$$

$$E(Y)=-1\cdot(0{,}1+0{,}2+0{,}2)+0\cdot(0{,}2+0{,}1+0{,}2)+1\cdot(0{,}2+0{,}2)=0{,}1.$$

Тогда

$$\operatorname{cov}(X,Y)=0-0{,}5\cdot 0{,}1=-0{,}05.$$

б)

$$E(X^2)=0^2\cdot(0{,}1+0{,}2+0{,}2)+1^2\cdot(0{,}2+0{,}1+0{,}2)=0{,}5,$$

$$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=0{,}5-0{,}5^2=0{,}25,$$

$$\sigma_X=\sqrt{0{,}25}=0{,}5.$$

$$E(Y^2)=(-1)^2\cdot(0{,}1+0{,}2+0{,}2)+0^2\cdot(0{,}2+0{,}1+0{,}2)+1^2\cdot(0{,}2+0{,}2)=0{,}7,$$

$$D(Y)=E(Y^2)-\bigl(E(Y)\bigr)^2=0{,}7-0{,}1^2=0{,}69,$$

$$\sigma_Y=\sqrt{0{,}69}\approx 0{,}83.$$

Теперь найдём коэффициент корреляции:

$$\rho(X,Y)=\frac{-0{,}05}{0{,}5\cdot 0{,}83}\approx -0{,}12.$$

Ответ

$$\operatorname{cov}(X,Y)=-0{,}05,\qquad \rho(X,Y)\approx -0{,}12.$$