Упр.62 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)
- Бросают два кубика. Случайная величина $$X$$ — число, выпавшее на первом кубике; $$Y$$ — число, выпавшее на втором кубике; $$W$$ — наибольшее из двух чисел; $$V$$ — наименьшее из чисел. Найдите совместный закон распределения а) $$X$$ и $$Y$$; в) $$X$$ и $$V$$; б) $$X$$ и $$W$$; г) $$V$$ и $$W$$. В каких из этих пар случайные величины независимые?
При бросании двух кубиков все $$36$$ исходов равновероятны, поэтому для любой пары случайных величин удобно выписать вероятности по числу подходящих исходов.
а) Для $$X$$ и $$Y$$. Здесь $$X$$ — результат первого кубика, $$Y$$ — результат второго. Тогда для любых $$x,y \in \{1,2,3,4,5,6\}$$
$$P(X=x,\;Y=y)=\frac{1}{36}.$$
Следовательно, совместный закон распределения равномерен:
$$X\backslash Y$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$1$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$2$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$3$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$4$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$5$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$6$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ Так как
$$P(X=x)=\frac{1}{6}, \qquad P(Y=y)=\frac{1}{6},$$
то
$$P(X=x,\;Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y).$$
Значит, $$X$$ и $$Y$$ независимы.
б) Для $$X$$ и $$W$$. Здесь $$W=\max(X,Y)$$. Для фиксированного $$x$$ и $$w$$ возможны только случаи, когда $$w\ge x$$.
Если $$w<x$$, то $$P(X=x,\;W=w)=0$$.
Если $$w=x$$, то второй кубик должен дать число от $$1$$ до $$x$$, значит
$$P(X=x,\;W=x)=\frac{x}{36}.$$
Если $$w>x$$, то первый кубик равен $$x$$, а второй — $$w$$, поэтому
$$P(X=x,\;W=w)=\frac{1}{36}.$$
Совместный закон:
$$X\backslash W$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$1$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$2$$ $$0$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$3$$ $$0$$ $$0$$ $$\frac{3}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$4$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$\frac{4}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$5$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$\frac{5}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$6$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$\frac{6}{36}$$ Проверим независимость, например, для события $$X=1$$ и $$W=1$$:
$$P(X=1,\;W=1)=\frac{1}{36},$$
а
$$P(X=1)\cdot P(W=1)=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{36}.$$
Но уже для $$X=2$$ и $$W=1$$ имеем
$$P(X=2,\;W=1)=0,$$
тогда как
$$P(X=2)\cdot P(W=1)=\frac{1}{36}.$$
Следовательно, $$X$$ и $$W$$ зависимы.
в) Для $$X$$ и $$V$$. Здесь $$V=\min(X,Y)$$. Для фиксированных $$x$$ и $$v$$:
если $$v>x$$, то $$P(X=x,\;V=v)=0$$;
если $$v=x$$, то второй кубик должен дать число от $$x$$ до $$6$$, значит
$$P(X=x,\;V=x)=\frac{7-x}{36};$$
если $$v<x$$, то второй кубик обязан равняться $$v$$, поэтому
$$P(X=x,\;V=v)=\frac{1}{36}.$$
Совместный закон:
$$X\backslash V$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$1$$ $$\frac{6}{36}$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$2$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{5}{36}$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$3$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{4}{36}$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$4$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{3}{36}$$ $$0$$ $$0$$ $$5$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$0$$ $$6$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{1}{36}$$ Проверим независимость, например, для $$X=1$$ и $$V=1$$:
$$P(X=1,\;V=1)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},$$
а
$$P(X=1)\cdot P(V=1)=\frac{1}{6}\cdot\frac{11}{36}=\frac{11}{216}.$$
Так как $$\frac{1}{6}\ne \frac{11}{216}$$, величины $$X$$ и $$V$$ зависимы.
г) Для $$V$$ и $$W$$. Если $$V=v$$ и $$W=w$$, то обязательно $$v\le w$$.
При $$v<w$$ один кубик показывает $$v$$, другой — $$w$$, поэтому
$$P(V=v,\;W=w)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}.$$
При $$v=w$$ оба кубика равны этому числу, значит
$$P(V=v,\;W=v)=\frac{1}{36}.$$
Если $$v>w$$, то
$$P(V=v,\;W=w)=0.$$
Совместный закон:
$$V\backslash W$$ $$1$$ $$2$$ $$3$$ $$4$$ $$5$$ $$6$$ $$1$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$2$$ $$0$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$3$$ $$0$$ $$0$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$4$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$5$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$\frac{1}{36}$$ $$\frac{2}{36}$$ $$6$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$0$$ $$\frac{1}{36}$$ Проверим независимость, например, для $$V=1$$ и $$W=1$$:
$$P(V=1,\;W=1)=\frac{1}{36},$$
а
$$P(V=1)\cdot P(W=1)=\frac{11}{36}\cdot\frac{1}{36}=\frac{11}{1296}.$$
Следовательно, $$V$$ и $$W$$ зависимы.
Независимыми являются только случайные величины $$X$$ и $$Y$$.
Ответ
$$X$$ и $$Y$$ — независимы; пары $$X$$ и $$W$$, $$X$$ и $$V$$, $$V$$ и $$W$$ — зависимы.
