Упр.61 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Совместное распределение случайных величин $$X$$ и $$Y$$ задано таблицей 40.

Найдём математические ожидания и дисперсии случайных величин X и Y по таблице совместного распределения.

Для X:

$$P(X=0)=0{,}1+0{,}2+0{,}2=0{,}5,$$
$$P(X=1)=0{,}2+0{,}1+0{,}2=0{,}5.$$

$$E(X)=0\cdot 0{,}5+1\cdot 0{,}5=0{,}5,$$
$$E(X^2)=0^2\cdot 0{,}5+1^2\cdot 0{,}5=0{,}5.$$

$$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=0{,}5-0{,}5^2=0{,}25.$$

Для Y:

$$P(Y=-1)=0{,}1+0{,}2=0{,}3,$$
$$P(Y=0)=0{,}2+0{,}1=0{,}3,$$
$$P(Y=1)=0{,}2+0{,}2=0{,}4.$$

$$E(Y)=(-1)\cdot 0{,}3+0\cdot 0{,}3+1\cdot 0{,}4=0{,}1,$$
$$E(Y^2)=(-1)^2\cdot 0{,}3+0^2\cdot 0{,}3+1^2\cdot 0{,}4=0{,}7.$$

$$D(Y)=E(Y^2)-\bigl(E(Y)\bigr)^2=0{,}7-0{,}1^2=0{,}69.$$

Теперь найдём ковариацию:

$$E(XY)=0\cdot(-1)\cdot 0{,}1+0\cdot 0\cdot 0{,}2+0\cdot 1\cdot 0{,}2+1\cdot(-1)\cdot 0{,}2+1\cdot 0\cdot 0{,}1+1\cdot 1\cdot 0{,}2=0,$$

$$\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0-0{,}5\cdot 0{,}1=-0{,}05.$$

Коэффициент корреляции:

$$r_{XY}=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}=\frac{-0{,}05}{\sqrt{0{,}25\cdot 0{,}69}}\approx -0{,}12.$$

Ответ

$$E(X)=0{,}5,\quad D(X)=0{,}25,\quad E(Y)=0{,}1,\quad D(Y)=0{,}69,\quad r_{XY}\approx -0{,}12.$$