Упр.60 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: В посёлке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни для поездок случайно и независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем один раз за 100 дней? Поезд ходит раз в сутки.

Подробный ответ

Пусть случайная величина $$X$$ — число жителей посёлка, которые в данный день едут на поезде в город. Тогда

$$n=2500,\qquad p=\frac{6}{30}=0{,}2.$$

Так как поездка каждого жителя независима, то $$X$$ имеет биномиальное распределение. Найдём его математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение:

$$M(X)=np=2500\cdot 0{,}2=500,$$

$$\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{2500\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8}=\sqrt{400}=20.$$

Поезд должен переполняться в среднем один раз за 100 дней, значит вероятность переполнения в любой день равна $$0{,}01$$, а вероятность того, что поезд не переполнится, равна $$0{,}99.$$

По таблице функции Лапласа находим:

$$\Phi(y)=0{,}99,\qquad y\approx 2{,}33.$$

Тогда искомая вместимость поезда:

$$K=M(X)+y\sigma=500+2{,}33\cdot 20=546{,}6.$$

Так как вместимость должна быть целым числом и поезд не должен переполняться, берём наименьшее целое число, большее этого значения:

$$K=547.$$