Упр.59 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа с гардеробом у каждого входа. Сколько мест должно быть в каждом из них, чтобы в среднем в 9 случаях из 10 все зрители могли раздеться в своём гардеробе?

Подробный ответ

Пусть через первый вход приходит случайная величина $$X$$ — число зрителей, выбравших первый гардероб. Тогда

$$X \sim B(1000; 0{,}5).$$

Найдём математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение:

$$M(X)=1000 \cdot 0{,}5=500,$$

$$\sigma=\sqrt{1000 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}5}=\sqrt{250}\approx 15{,}81.$$

По условию в среднем в 9 случаях из 10 все зрители должны раздеться в своём гардеробе, значит нужно, чтобы число мест в каждом гардеробе было таким, чтобы отклонение от среднего 500 человек не превышало примерно

$$1{,}645\sigma \approx 1{,}645 \cdot 15{,}81 \approx 26{,}0.$$

Тогда число мест в каждом гардеробе должно лежать в пределах

$$500-26 \leqslant x \leqslant 500+26,$$

то есть

$$474 \leqslant x \leqslant 526.$$

Следовательно, в каждом гардеробе должно быть примерно по 500 мест, а минимально достаточное число мест — 524, если брать верхнюю границу с учётом округления по нормальному приближению.