Упр.58 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах с вероятностью 0,9 будет находиться число деталей отличного качества, если взять 1000 деталей?

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — число деталей отличного качества среди $$1000$$ деталей. Тогда $$X$$ имеет биномиальное распределение с параметрами $$n=1000$$ и $$p=0{,}8$$.

Найдём математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение:

$$a=np=1000\cdot 0{,}8=800,$$

$$\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{1000\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2}=\sqrt{160}\approx 12{,}65.$$

По формуле Муавра — Лапласа для вероятности попадания в промежуток:

$$P(k_1\le X\le k_2)=\Phi\!\left(\frac{k_2-a}{\sigma}\right)-\Phi\!\left(\frac{k_1-a}{\sigma}\right).$$

Нужно, чтобы эта вероятность была равна $$0{,}9$$. Тогда

$$2\Phi(t)-1=0{,}9,$$

откуда

$$\Phi(t)=0{,}95.$$

По таблице Лапласа получаем $$t\approx 1{,}645.$$

Тогда границы интервала:

$$k_1=a-t\sigma=800-1{,}645\cdot 12{,}65\approx 779{,}2,$$