Упр.56 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

а) Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?
б) Какой должна быть точность станка о, чтобы доля годных деталей повысилась до 98%?

Пусть отклонение диаметра втулки от номинала — случайная величина $$X$$, распределённая нормально с математическим ожиданием $$0$$ и стандартным отклонением $$\sigma$$.

Годной считается втулка, если $$|X|\le 1$$.

а) При $$\sigma=0{,}05$$ имеем

$$P(|X|\le 1)=P\!\left(\left|\frac{X}{0{,}05}\right|\le \frac{1}{0{,}05}\right)=P(|Z|\le 20),$$

где $$Z$$ — стандартная нормальная величина. Тогда

$$P(|Z|\le 20)\approx 1.$$

То есть практически все детали годные: доля годных втулок составляет почти $$100\%$$.

б) Требуется, чтобы

$$P(|X|\le 1)=0{,}98.$$

Для стандартной нормальной величины это означает

$$P\!\left(|Z|\le \frac{1}{\sigma}\right)=0{,}98.$$

Тогда

$$\Phi\!\left(\frac{1}{\sigma}\right)=0{,}99,$$

откуда по таблице нормального распределения

$$\frac{1}{\sigma}\approx 2{,}33.$$

Следовательно,

$$\sigma\approx \frac{1}{2{,}33}\approx 0{,}43\text{ мм}.$$

Ответ

а) $$\approx 100\%$$.

б) $$\sigma \approx 0{,}43\text{ мм}.$$