Упр.55 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Контроль шариков для подшипников производится так: если шарик проходит через отверстие $$d$$ или не проходит через отверстие $$D$$, то он бракуется ($$D>d$$), в противном случае его размер считается нормальным. Определите долю бракованных шариков, если номинальный диаметр шарика равен $$0{,}5(d+D)$$, а стандартное отклонение равно $$0{,}25(D-d)$$.

Пусть диаметр шарика — случайная величина $$X$$. По условию

$$\mu=0{,}5(d+D), \qquad \sigma=0{,}25(D-d).$$

Шарик бракуется, если $$X<d$$ или $$X>D$$. Найдём, на сколько стандартных отклонений отличаются границы допуска от среднего:

$$\frac{d-\mu}{\sigma} = \frac{d-0{,}5(d+D)}{0{,}25(D-d)} = \frac{-0{,}5(D-d)}{0{,}25(D-d)} =-2,$$

значит

$$P(X<d)=P(Z<-2)=1-\Phi(2)\approx 1-0{,}977=0{,}023.$$

Аналогично

$$\frac{D-\mu}{\sigma} = \frac{D-0{,}5(d+D)}{0{,}25(D-d)} = \frac{0{,}5(D-d)}{0{,}25(D-d)} =2,$$

поэтому

$$P(X>D)=P(Z>2)=1-\Phi(2)\approx 0{,}023.$$

Тогда доля бракованных шариков равна

$$P(X<d)+P(X>D)=0{,}023+0{,}023=0{,}046.$$

Ответ

$$0{,}046$$, то есть $$4{,}6\%$$.