Упр.55 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: Контроль шариков для подшипников производится так: если шарик проходит через отверстие d или не проходит через отверстие D, то он бракуется (D > d), в противном случае его размер считается нормальным. Определите долю бракованных шариков, если номинальный диаметр шарика равен 0,5(d + D), а стандартное отклонение равно 0,25(D — d).

Пусть диаметр шарика — случайная величина $$X$$. По условию

$$\mu=0{,}5(d+D), \qquad \sigma=0{,}25(D-d).$$

Шарик бракуется, если $$X<d$$ или $$X>D$$. Найдём, на сколько стандартных отклонений отличаются границы допуска от среднего:

$$ \frac{d-\mu}{\sigma} = \frac{d-0{,}5(d+D)}{0{,}25(D-d)} = \frac{-0{,}5(D-d)}{0{,}25(D-d)} =-2, $$

значит

$$P(X<d)=P(Z<-2)=1-\Phi(2)\approx 1-0{,}977=0{,}023.$$

Аналогично

$$ \frac{D-\mu}{\sigma} = \frac{D-0{,}5(d+D)}{0{,}25(D-d)} = \frac{0{,}5(D-d)}{0{,}25(D-d)} =2, $$

поэтому

$$P(X>D)=P(Z>2)=1-\Phi(2)\approx 0{,}023.$$

Тогда доля бракованных шариков равна

$$P(X<d)+P(X>D)=0{,}023+0{,}023=0{,}046.$$

Ответ

$$0{,}046$$, то есть $$4{,}6\%$$.