Упр.53 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Автомобили проходят осмотр на станции технического обслуживания. Известно, что время обслуживания имеет нормальное распределение со средним значением 60 мин и стандартным отклонением 10 мин. а) С какой вероятностью очередной автомобиль будут обслуживать больше 65 мин? б) С какой вероятностью время обслуживания очередного автомобиля будет заключено между 50 и 70 мин? в) Найдите наименьший интервал времени, в который укладываются 50% всех обслуживаемых автомобилей.

Пусть $$X$$ — время обслуживания автомобиля. Тогда $$X \sim N(60; 10)$$, где $$\mu=60$$ мин, $$\sigma=10$$ мин.

1. Найдём вероятность того, что обслуживание длится больше 65 минут:

   $$P(X>65)=1-P(X\le 65)=1-\Phi\!\left(\frac{65-60}{10}\right)=1-\Phi(0{,}5).$$

   По таблице функции Лапласа $$\Phi(0{,}5)\approx 0{,}6915$$, значит

   $$P(X>65)\approx 1-0{,}6915=0{,}3085.$$

2. Найдём вероятность того, что время обслуживания будет от 50 до 70 минут:

   $$P(50\le X\le 70)=\Phi\!\left(\frac{70-60}{10}\right)-\Phi\!\left(\frac{50-60}{10}\right)=\Phi(1)-\Phi(-1).$$

   Так как $$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$$, то

   $$P(50\le X\le 70)=\Phi(1)-\bigl(1-\Phi(1)\bigr)=2\Phi(1)-1.$$

   Из таблицы $$\Phi(1)\approx 0{,}8413$$, поэтому

   $$P(50\le X\le 70)\approx 2\cdot 0{,}8413-1=0{,}6826.$$

3. Найдём наименьший симметричный интервал, в который попадают 50% всех значений:

   $$P(\mu-k\sigma\le X\le \mu+k\sigma)=0{,}5.$$

   Тогда

   $$2\Phi(k)-1=0{,}5,$$
   $$\Phi(k)=0{,}75.$$

   По таблице $$k\approx 0{,}674$$. Следовательно,

   $$60-0{,}674\cdot 10=53{,}26,$$
   $$60+0{,}674\cdot 10=66{,}74.$$

   Искомый интервал:

   $$[53{,}26;\,66{,}74].$$

Ответ

а) $$0{,}3085$$;
б) $$0{,}6826$$;
в) $$[53{,}26;\,66{,}74]$$ мин.