Упр.52 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Среднее время бесперебойной работы насоса составляет 30 суток. Найдите вероятности следующих событий: а) за 10 суток не будет ни одной поломки; б) за 10 суток будет меньше двух поломок; в) за 10 суток будет более трёх поломок.

Число поломок за фиксированное время считаем распределённым по закону Пуассона. Среднее число поломок за 1 сутки:

$$\lambda_1=\frac{1}{30}.$$

За 10 суток математическое ожидание равно

$$\lambda=10\cdot \frac{1}{30}=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$P(X=k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \qquad \lambda=\frac{1}{3}.$$

а) За 10 суток не будет ни одной поломки:

$$P(X=0)=\frac{\left(\frac13\right)^0 e^{-1/3}}{0!}=e^{-1/3}\approx 0{,}7165.$$

б) За 10 суток будет меньше двух поломок:

$$P(X<2)=P(0)+P(1).$$

$$P(1)=\frac{\left(\frac13\right)^1 e^{-1/3}}{1!}=\frac13 e^{-1/3}\approx 0{,}2388.$$

$$P(X<2)\approx 0{,}7165+0{,}2388=0{,}9553\approx 0{,}955.$$

в) За 10 суток будет более трёх поломок:

$$P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-\bigl(P(0)+P(1)+P(2)+P(3)\bigr).$$

$$P(2)=\frac{\left(\frac13\right)^2 e^{-1/3}}{2!}=\frac{1}{18}e^{-1/3}\approx 0{,}0398,$$

$$P(3)=\frac{\left(\frac13\right)^3 e^{-1/3}}{3!}=\frac{1}{162}e^{-1/3}\approx 0{,}0044.$$

$$P(X>3)\approx 1-(0{,}7165+0{,}2388+0{,}0398+0{,}0044)=0{,}0005.$$

Ответ

$$a)\ 0{,}7165;\quad b)\ 0{,}955;\quad c)\ 0{,}0005.$$