Упр.51 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

а) Найдите закон распределения У.
б) Найдите математическое ожидание и дисперсию У.
в) Вычислите Р( У < 1). Р(У > 1); P(Y = 1).

Среднее число вызовов в минуту равно $$120$$, значит интенсивность потока в секунду:

$$\lambda=\frac{120}{60}=2.$$

Время ожидания очередного вызова $$Y$$ имеет показательное распределение с параметром $$\lambda=2$$.

Тогда плотность распределения:

$$f(y)= \begin{cases} 2e^{-2y}, & y\ge 0,\\ 0, & y<0. \end{cases}$$

Функция распределения:

$$F(y)= \begin{cases} 1-e^{-2y}, & y\ge 0,\\ 0, & y<0. \end{cases}$$

Для показательного распределения:

$$\mathbb{E}(Y)=\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{2}, \qquad \mathbb{D}(Y)=\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{4}.$$

Найдём вероятности:

$$P(Y<1)=F(1)=1-e^{-2}\approx 0{,}865.$$

$$P(Y>1)=1-P(Y\le 1)=1-F(1)=e^{-2}\approx 0{,}135.$$

Так как случайная величина непрерывная, то

$$P(Y=1)=0.$$

Ответ

$$f(y)= \begin{cases} 2e^{-2y}, & y\ge 0,\\ 0, & y<0 \end{cases}$$
$$F(y)= \begin{cases} 1-e^{-2y}, & y\ge 0,\\ 0, & y<0 \end{cases}$$
$$\mathbb{E}(Y)=\frac12,\quad \mathbb{D}(Y)=\frac14,$$
$$P(Y<1)=1-e^{-2}\approx 0{,}865,\quad P(Y>1)=e^{-2}\approx 0{,}135,\quad P(Y=1)=0.$$