Упр.50 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Среднее число вызовов, поступающих в кол-центр в минуту, равно $$120$$. Случайная величина $$X$$ — количество вызовов в секунду.

а) Найдите закон распределения $$X$$.
б) Найдите математическое ожидание и дисперсию $$X$$.
в) Вычислите $$\mathrm{P}(X=0)$$; $$\mathrm{P}(X<2)$$; $$\mathrm{P}(X>3)$$.

Пусть число вызовов за минуту имеет распределение Пуассона с параметром $$120$$. Тогда за одну секунду среднее число вызовов равно

$$\lambda=\frac{120}{60}=2.$$

Значит, случайная величина $$X$$ — число вызовов в секунду — имеет распределение Пуассона с параметром $$\lambda=2$$:

$$P(X=k)=\frac{2^k e^{-2}}{k!}, \quad k=0,1,2,\ldots$$

Тогда

$$E(X)=\lambda=2,\qquad D(X)=\lambda=2.$$

Найдём требуемые вероятности:

$$P(X=0)=\frac{2^0 e^{-2}}{0!}=e^{-2}\approx 0{,}135.$$

$$P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)=e^{-2}+2e^{-2}=3e^{-2}\approx 0{,}406.$$

$$P(X>3)=1-P(X\le 3).$$

Вычислим

$$P(X\le 3)=P(0)+P(1)+P(2)+P(3)$$

$$=e^{-2}+2e^{-2}+\frac{2^2e^{-2}}{2!}+\frac{2^3e^{-2}}{3!}$$

$$=e^{-2}+2e^{-2}+2e^{-2}+\frac{4}{3}e^{-2}=\frac{19}{3}e^{-2}\approx 0{,}857.$$

Следовательно,

$$P(X>3)=1-0{,}857\approx 0{,}143.$$

Ответ

а) $$P(X=k)=\dfrac{2^k e^{-2}}{k!},\ k=0,1,2,\ldots$$

б) $$E(X)=2,\quad D(X)=2.$$

в) $$P(X=0)=e^{-2}\approx 0{,}135,$$ $$P(X<2)\approx 0{,}406,$$ $$P(X>3)\approx 0{,}143.$$