Упр.49 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. Найдите вероятность того, что значение нормально распределённой случайной величины с параметрами $$a$$ и $$\sigma^2$$ попадёт в промежуток: а) $$(a-\sigma;\,a+\sigma)$$; б) $$(a-2\sigma;\,a+2\sigma)$$; в) $$(a-3\sigma;\,a+3\sigma)$$.

Для нормально распределённой случайной величины $$X$$ с параметрами $$a$$ и $$\sigma^2$$ введём стандартную замену:

$$y=\frac{x-a}{\sigma}.$$

Тогда искомые вероятности выражаются через функцию Лапласа (таблицу нормального распределения):

$$P(a-k\sigma<X<a+k\sigma)=P(-k<y<k)=\Phi(k)-\Phi(-k).$$

а) Для промежутка $$\left(a-\sigma;\,a+\sigma\right)$$ имеем:

$$P\left(a-\sigma<X<a+\sigma\right)=P(-1<y<1).$$

По таблице:

$$\Phi(1)=0{,}8413,\qquad \Phi(-1)=0{,}1587.$$

Тогда

$$P=0{,}8413-0{,}1587=0{,}6826.$$

б) Для промежутка $$\left(a-2\sigma;\,a+2\sigma\right)$$:

$$P\left(a-2\sigma<X<a+2\sigma\right)=P(-2<y<2).$$

По таблице:

$$\Phi(2)=0{,}9772,\qquad \Phi(-2)=0{,}0228.$$

Следовательно,

$$P=0{,}9772-0{,}0228=0{,}9544.$$

в) Для промежутка $$\left(a-3\sigma;\,a+3\sigma\right)$$:

$$P\left(a-3\sigma<X<a+3\sigma\right)=P(-3<y<3).$$

По таблице:

$$\Phi(3)=0{,}9987,\qquad \Phi(-3)=0{,}0013.$$

Тогда

$$P=0{,}9987-0{,}0013=0{,}9974.$$

Ответ

а) $$0{,}6826$$; б) $$0{,}9544$$; в) $$0{,}9974$$.