Упр.48 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: Докажите, что если случайная величина X равномерно распределена в промежутке (0; 1), то Y = (b — а)Х + a имеет равномерное распределение на (a; b).

Пусть случайная величина $$X$$ равномерно распределена на промежутке $$ (0;1) $$, тогда её функция распределения имеет вид

$$ F_X(x)= \begin{cases} 0, & x\le 0,\\ x, & 0<x<1,\\ 1, & x\ge 1. \end{cases} $$

Рассмотрим случайную величину

$$Y=(b-a)X+a.$$

Найдём её функцию распределения:

$$ F_Y(y)=P(Y\le y)=P((b-a)X+a\le y). $$

Так как $$b-a>0$$, получаем

$$ P((b-a)X+a\le y)=P\left(X\le \frac{y-a}{b-a}\right)=F_X\left(\frac{y-a}{b-a}\right). $$

Теперь рассмотрим случаи.

Если $$y\le a$$, то $$\dfrac{y-a}{b-a}\le 0$$, значит

$$F_Y(y)=0.$$

Если $$a<y<b$$, то $$0<\dfrac{y-a}{b-a}<1$$, поэтому

$$ F_Y(y)=F_X\left(\frac{y-a}{b-a}\right)=\frac{y-a}{b-a}. $$

Если $$y\ge b$$, то $$\dfrac{y-a}{b-a}\ge 1$$, значит

$$F_Y(y)=1.$$

Итак,

$$ F_Y(y)= \begin{cases} 0, & y\le a,\\ \dfrac{y-a}{b-a}, & a<y<b,\\ 1, & y\ge b. \end{cases} $$

Это функция распределения равномерного распределения на промежутке $$ (a;b) $$.

Ответ

Случайная величина $$Y=(b-a)X+a$$ равномерно распределена на $$ (a;b) $$.