Упр.47 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Бунимович, Булычев 11 класс, Просвещение: Маша и Дима договорились о встрече в городском парке между семью и восемью часами вечера. Тот, кто придёт первым, ждёт другого в течение 10 мин. Случайная величина ‘/’равна времени, которое Дима будет ждать Машу. Найдите её математическое ожидание.

Подробный ответ

Пусть $$X$$ — время прихода Маши, а $$Y$$ — время прихода Димы. Тогда $$X$$ и $$Y$$ независимы и равномерно распределены на отрезке $$[0;60]$$ минут.

Дима будет ждать Машу, если он придёт раньше и разность времен не превысит 10 минут. Значит, случайная величина $$T$$ — время ожидания Димы — принимает значение $$10$$ с вероятностью события $$0<X-Y\le 10$$, а во всех остальных случаях равна $$0$$.

Найдём вероятность того, что Дима будет ждать Машу 10 минут. На квадрате $$60\times 60$$ это полоса между прямыми $$x=y$$ и $$x=y+10$$ выше диагонали. Её площадь равна

$$ S=\frac{60^2-(60-10)^2}{2}=\frac{3600-2500}{2}=550. $$

Тогда

$$ P(T=10)=\frac{550}{3600}=\frac{11}{72}. $$

Следовательно,

$$ P(T=0)=1-\frac{11}{72}=\frac{61}{72}. $$

Математическое ожидание:

$$ E(T)=0\cdot \frac{61}{72}+10\cdot \frac{11}{72}=\frac{110}{72}=\frac{55}{36}. $$