Упр.46 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Карандаш длиной $$18\ \text{см}$$ случайным образом ломают на две части. Чему равна средняя длина большей части? А если карандаш ломают на три части?

Подробный ответ

1) Карандаш ломают на две части.

Пусть точка разлома находится на расстоянии $$x$$ см от одного конца карандаша. Тогда длины частей равны $$x$$ и $$18-x$$, а длина большей части:

$$L=\max(x,\,18-x).$$

Точка разлома равновероятно может оказаться в любой точке отрезка длиной 18 см, поэтому средняя длина большей части равна

$$\overline L=\frac1{18}\int_0^{18}\max(x,\,18-x)\,dx.$$

Разобьём интеграл в точке $$x=9$$:

$$\overline L=\frac1{18}\left(\int_0^9(18-x)\,dx+\int_9^{18}x\,dx\right).$$

Вычислим:

$$\int_0^9(18-x)\,dx=\left(18x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^9=162-\frac{81}{2}=\frac{243}{2},$$

$$\int_9^{18}x\,dx=\frac{x^2}{2}\Bigg|_9^{18}=\frac{324-81}{2}=\frac{243}{2}.$$

Тогда

$$\overline L=\frac1{18}\cdot 243=\frac{27}{2}=13{,}5.$$

2) Карандаш ломают на три части.

Если карандаш разбит на три части, то сумма длин всех частей равна 18 см. Средняя длина наибольшей части для равномерного случайного разлома получается равной

$$\overline L=\frac{18}{3}\left(1+\frac12+\frac13\right).$$

Вычислим:

$$\overline L=6\cdot\frac{11}{6}=11.$$