Упр.44 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

а) Найдите функции распределения этих величин.
б) Найдите плотности распределения этих величин и нарисуйте их графики.
в) Найдите математическое ожидание этих величин.

Пусть $$X$$ — время ожидания автобуса Петей, $$Y$$ — время ожидания троллейбуса Васей, $$Z$$ — время ожидания транспорта Таней.

Для Пети автобус приходит каждые $$10$$ мин, значит время ожидания равномерно распределено на отрезке $$[0;10]$$:

$$ F_X(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ \dfrac{t}{10}, & 0\le t\le 10,\\ 1, & t>10. \end{cases} $$

Для Васи троллейбус приходит каждые $$5$$ мин, значит:

$$ F_Y(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ \dfrac{t}{5}, & 0\le t\le 5,\\ 1, & t>5. \end{cases} $$

Таня может уехать на любом из этих видов транспорта, поэтому ждёт первый из двух независимых потоков. Тогда

$$ P(Z>t)=P(X>t)\cdot P(Y>t). $$

При $$0\le t\le 5$$ имеем:

$$ P(X>t)=1-\dfrac{t}{10}, \qquad P(Y>t)=1-\dfrac{t}{5}. $$

Следовательно,

$$ P(Z>t)=\left(1-\dfrac{t}{10}\right)\left(1-\dfrac{t}{5}\right) =\dfrac{50-15t+t^2}{50}, $$

$$ F_Z(t)=1-P(Z>t)=\dfrac{30t-t^2}{50}=\dfrac{3t}{5}-\dfrac{t^2}{50}. $$

Если $$t<0$$, то $$F_Z(t)=0$$, а если $$t>5$$, то $$F_Z(t)=1$$. Значит,

$$ F_Z(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ \dfrac{3t}{5}-\dfrac{t^2}{50}, & 0\le t\le 5,\\ 1, & t>5. \end{cases} $$

Найдём плотности распределения как производные функций распределения:

$$ f_X(t)= \begin{cases} \dfrac{1}{10}, & 0\le t\le 10,\\ 0, & \text{иначе}, \end{cases} \qquad f_Y(t)= \begin{cases} \dfrac{1}{5}, & 0\le t\le 5,\\ 0, & \text{иначе}, \end{cases} $$

$$ f_Z(t)= \begin{cases} \dfrac{3}{5}-\dfrac{t}{25}, & 0\le t\le 5,\\ 0, & \text{иначе}. \end{cases} $$

Графики плотностей: у $$f_X(t)$$ и $$f_Y(t)$$ это прямоугольники на соответствующих отрезках, а график $$f_Z(t)$$ — отрезок прямой, убывающий от точки $$\left(0;\dfrac{3}{5}\right)$$ до точки $$\left(5;\dfrac{2}{5}\right)$$.

Математические ожидания:

$$ E(X)=\dfrac{0+10}{2}=5, \qquad E(Y)=\dfrac{0+5}{2}=2{,}5. $$

Для $$Z$$:

$$ E(Z)=\int\limits_0^5 t\left(\dfrac{3}{5}-\dfrac{t}{25}\right)\,dt =\int\limits_0^5 \left(\dfrac{3t}{5}-\dfrac{t^2}{25}\right)\,dt $$

$$ =\left.\dfrac{3t^2}{10}\right|_0^5-\left.\dfrac{t^3}{75}\right|_0^5 =\dfrac{75}{10}-\dfrac{125}{75} =\dfrac{15}{2}-\dfrac{5}{3} =\dfrac{35}{6}. $$

Ответ

$$ F_X(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ \dfrac{t}{10}, & 0\le t\le 10,\\ 1, & t>10, \end{cases} \quad F_Y(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ \dfrac{t}{5}, & 0\le t\le 5,\\ 1, & t>5, \end{cases} $$

$$ F_Z(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\ \dfrac{3t}{5}-\dfrac{t^2}{50}, & 0\le t\le 5,\\ 1, & t>5, \end{cases} $$

$$ f_X(t)= \begin{cases} \dfrac{1}{10}, & 0\le t\le 10,\\ 0, & \text{иначе}, \end{cases} \quad f_Y(t)= \begin{cases} \dfrac{1}{5}, & 0\le t\le 5,\\ 0, & \text{иначе}, \end{cases} \quad f_Z(t)= \begin{cases} \dfrac{3}{5}-\dfrac{t}{25}, & 0\le t\le 5,\\ 0, & \text{иначе}. \end{cases} $$

$$ E(X)=5,\qquad E(Y)=2{,}5,\qquad E(Z)=\dfrac{35}{6}\text{ мин}. $$