Упр.43 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Пусть $$x$$ — расстояние от пункта $$A$$ до места поломки автобуса. Тогда $$x \in [0;100]$$, а вероятность поломки в любой точке одинакова, значит, $$x$$ равномерно распределена на отрезке $$[0;100]$$.

Среднее расстояние до ближайшей станции обслуживания равно математическому ожиданию расстояния от точки поломки до ближайшей станции.

1) Станции в пунктах $$A$$, $$B$$ и посередине между ними.

Тогда ближайшая станция находится на расстоянии

$$y= \begin{cases} x, & 0 \le x \le 50,\\ 100-x, & 50 \le x \le 100. \end{cases}$$

По симметрии достаточно рассмотреть отрезок $$[0;50]$$:

$$E(y)=\frac{1}{100}\int\limits_0^{50} x\,dx+\frac{1}{100}\int\limits_{50}^{100} (100-x)\,dx$$

$$E(y)=\frac{1}{100}\cdot 2\int\limits_0^{50} x\,dx =\frac{2}{100}\cdot \frac{50^2}{2}=12{,}5.$$

2) Станции на расстояниях $$25$$ км, $$50$$ км и $$75$$ км от пункта $$A$$.

Теперь расстояние до ближайшей станции равно

$$y= \begin{cases} x, & 0 \le x \le 12{,}5,\\ 25-x, & 12{,}5 \le x \le 25,\\ x-25, & 25 \le x \le 37{,}5,\\ 50-x, & 37{,}5 \le x \le 50,\\ x-50, & 50 \le x \le 62{,}5,\\ 75-x, & 62{,}5 \le x \le 75,\\ x-75, & 75 \le x \le 87{,}5,\\ 100-x, & 87{,}5 \le x \le 100. \end{cases}$$

Из-за симметрии и одинаковой длины промежутков среднее расстояние можно найти как площадь одинаковых треугольников:

$$E(y)=\frac{3}{100}\int\limits_0^{25} x\,dx =\frac{3}{100}\cdot \frac{25^2}{2}=9{,}375.$$

Сравним результаты: $$9{,}375 < 12{,}5$$, значит, во втором случае среднее расстояние до ближайшей станции меньше, а обслуживание эффективнее.

Ответ

Да, более эффективно расположить станции на расстояниях $$25$$ км, $$50$$ км и $$75$$ км от пункта $$A$$. Среднее расстояние до ближайшей станции уменьшится с $$12{,}5$$ км до $$9{,}375$$ км.