Упр.42 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. На единичном отрезке оси абсцисс координатной плоскости $$Oxy$$ случайным образом выбирают точку $$M$$ (рис. 36). Случайная величина $$X$$ равна расстоянию от этой точки до точки $$(0; 1)$$.
   а) Найдите функцию распределения случайной величины $$X$$.
   б) Найдите плотность распределения случайной величины $$X$$.

Пусть точка $$M$$ имеет координаты $$M(x;0)$$, где $$x \in [0;1]$$. Тогда расстояние от точки $$M$$ до точки $$A(0;1)$$ равно

$$X=\sqrt{x^2+1}.$$

Так как $$x \in [0;1]$$, то возможные значения случайной величины $$X$$ лежат в промежутке

$$1 \le X \le \sqrt{2}.$$

Найдём функцию распределения $$F(x)=P(X<x)$$.

1) Если $$x \le 1$$, то $$P(X<x)=0$$.

2) Если $$1<x\le \sqrt{2}$$, то

$$P(X<x)=P\left(\sqrt{t^2+1}<x\right), \quad t \in [0;1].$$

Отсюда

$$t^2+1<x^2 \quad \Longleftrightarrow \quad t<\sqrt{x^2-1}.$$

Так как точка $$M$$ выбирается равновероятно на отрезке $$[0;1]$$, то

$$F(x)=\sqrt{x^2-1}.$$

3) Если $$x>\sqrt{2}$$, то $$F(x)=1$$.

Следовательно,

$$F(x)= \begin{cases} 0, & x\le 1,\\ \sqrt{x^2-1}, & 1<x\le \sqrt{2},\\ 1, & x>\sqrt{2}. \end{cases}$$

Найдём плотность распределения:

$$p(x)=F'(x).$$

Тогда

$$p(x)= \begin{cases} 0, & x\le 1,\\ \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}, & 1<x<\sqrt{2},\\ 0, & x\ge \sqrt{2}. \end{cases}$$

Ответ

$$F(x)= \begin{cases} 0, & x\le 1,\\ \sqrt{x^2-1}, & 1<x\le \sqrt{2},\\ 1, & x>\sqrt{2}, \end{cases} \qquad p(x)= \begin{cases} 0, & x\le 1,\\ \dfrac{x}{\sqrt{x^2-1}}, & 1<x<\sqrt{2},\\ 0, & x\ge \sqrt{2}. \end{cases}$$