Упр.41 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

1. В квадрат со стороной $$1$$ бросают случайную точку. Случайная величина $$X$$ — расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата. а) Найдите функцию распределения случайной величины $$X$$. б) Найдите плотность распределения случайной величины $$X$$. в) Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $$X$$.

Обозначим через $$X$$ расстояние от случайной точки до ближайшей стороны квадрата. Тогда $$0 \le X \le \frac12$$.

Для значения $$x \in \left[0;\frac12\right]$$ событие $$X>x$$ означает, что точка попала в центральный квадрат со стороной $$1-2x$$. Поэтому

$$P(X>x)=(1-2x)^2.$$

Тогда функция распределения:

$$F(x)=P(X\le x)= \begin{cases} 0, & x\le 0,\\ 1-(1-2x)^2, & 0<x\le \frac12,\\ 1, & x>\frac12. \end{cases}$$

Упростим выражение на промежутке $$0<x\le \frac12$$:

$$1-(1-2x)^2=1-(1-4x+4x^2)=4x-4x^2.$$

Значит, плотность распределения равна производной функции распределения:

$$f(x)=F'(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 4-8x, & 0\le x\le \frac12,\\ 0, & x>\frac12. \end{cases}$$

Найдём математическое ожидание:

$$E(X)=\int_0^{1/2} x(4-8x)\,dx =\int_0^{1/2} (4x-8x^2)\,dx$$

$$=\left(2x^2-\frac{8x^3}{3}\right)\Bigg|_0^{1/2} =2\cdot\left(\frac12\right)^2-\frac{8}{3}\cdot\left(\frac12\right)^3 =\frac12-\frac13=\frac16.$$

Теперь найдём $$E(X^2)$$:

$$E(X^2)=\int_0^{1/2} x^2(4-8x)\,dx =\int_0^{1/2} (4x^2-8x^3)\,dx$$

$$=\left(\frac{4x^3}{3}-2x^4\right)\Bigg|_0^{1/2} =\frac{4}{3}\cdot\left(\frac12\right)^3-2\cdot\left(\frac12\right)^4 =\frac16-\frac18=\frac1{24}.$$

Тогда дисперсия:

$$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 =\frac1{24}-\left(\frac16\right)^2 =\frac1{24}-\frac1{36} =\frac1{72}.$$

Ответ

$$F(x)= \begin{cases} 0, & x\le 0,\\ 1-(1-2x)^2, & 0<x\le \frac12,\\ 1, & x>\frac12, \end{cases} \qquad f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\ 4-8x, & 0\le x\le \frac12,\\ 0, & x>\frac12, \end{cases}$$

$$E(X)=\frac16,\qquad D(X)=\frac1{72}.$$