Упр.40 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

а) Постройте график функции р(х).
б) Найдите функцию распределения F(x) и постройте её график.
в) Вычислите вероятность Р(|Х| > 0,5).
г) Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Плотность распределения задана так:

$$ p(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\ x+1, & -1\le x<0,\\ -x+1, & 0\le x<1,\\ 0, & x\ge 1. \end{cases} $$

а) График функции $$p(x)$$ — треугольник с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$ и основаниями в точках $$(-1;0)$$ и $$\left(1;0\right)$$.

б) Найдём функцию распределения $$F(x)$$:

Если $$x<-1$$, то $$F(x)=0$$.

Если $$-1\le x<0$$, то

$$ F(x)=\int_{-1}^{x}(t+1)\,dt =\left(\frac{t^2}{2}+t\right)\Bigg|_{-1}^{x} =\frac{x^2}{2}+x+\frac12 =\frac{(x+1)^2}{2}. $$

Если $$0\le x<1$$, то

$$ F(x)=F(0)+\int_{0}^{x}(1-t)\,dt =\frac12+\left(t-\frac{t^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{x} =\frac12+x-\frac{x^2}{2} =1-\frac{(x-1)^2}{2}. $$

Если $$x\ge 1$$, то $$F(x)=1$$.

Итак,

$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\ \dfrac{(x+1)^2}{2}, & -1\le x<0,\\ 1-\dfrac{(x-1)^2}{2}, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1. \end{cases} $$

в)

$$ P(|X|>0{,}5)=P(X<-0{,}5)+P(X>0{,}5) =F(-0{,}5)+1-F(0{,}5). $$

$$ F(-0{,}5)=\frac{(0{,}5)^2}{2}=\frac18,\qquad F(0{,}5)=1-\frac{(0{,}5-1)^2}{2}=1-\frac18=\frac78. $$

Тогда

$$ P(|X|>0{,}5)=\frac18+1-\frac78=\frac14. $$

г) Найдём математическое ожидание и дисперсию.

Так как плотность симметрична относительно нуля, то

$$ E(X)=0. $$

Найдём $$E(X^2)$$:

$$ E(X^2)=\int_{-1}^{1}x^2p(x)\,dx =\int_{-1}^{0}x^2(x+1)\,dx+\int_{0}^{1}x^2(1-x)\,dx. $$

Из симметрии эти интегралы равны, поэтому

$$ E(X^2)=2\int_{0}^{1}x^2(1-x)\,dx =2\int_{0}^{1}(x^2-x^3)\,dx =2\left(\frac13-\frac14\right) =\frac16. $$

Тогда

$$ D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=\frac16-0=\frac16. $$

Ответ

$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\ \dfrac{(x+1)^2}{2}, & -1\le x<0,\\ 1-\dfrac{(x-1)^2}{2}, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1, \end{cases} \qquad P(|X|>0{,}5)=\frac14, \qquad E(X)=0, \qquad D(X)=\frac16. $$