Упр.40 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)
- Непрерывная случайная величина $$X$$ имеет плотность распределения.
а) Постройте график функции $$p(x)$$.
б) Найдите функцию распределения $$F(x)$$ и постройте её график.
в) Вычислите вероятность $$P(|X| > 0{,}5)$$.
г) Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $$X$$.
Плотность распределения задана так:
$$p(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\ x+1, & -1\le x<0,\\ -x+1, & 0\le x<1,\\ 0, & x\ge 1. \end{cases}$$
а) График функции $$p(x)$$ — треугольник с вершиной в точке $$\left(0;1\right)$$ и основаниями в точках $$(-1;0)$$ и $$\left(1;0\right)$$.
б) Найдём функцию распределения $$F(x)$$:
Если $$x<-1$$, то $$F(x)=0$$.
Если $$-1\le x<0$$, то
$$F(x)=\int_{-1}^{x}(t+1)\,dt =\left(\frac{t^2}{2}+t\right)\Bigg|_{-1}^{x} =\frac{x^2}{2}+x+\frac12 =\frac{(x+1)^2}{2}.$$
Если $$0\le x<1$$, то
$$F(x)=F(0)+\int_{0}^{x}(1-t)\,dt =\frac12+\left(t-\frac{t^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{x} =\frac12+x-\frac{x^2}{2} =1-\frac{(x-1)^2}{2}.$$
Если $$x\ge 1$$, то $$F(x)=1$$.
Итак,
$$F(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\ \dfrac{(x+1)^2}{2}, & -1\le x<0,\\ 1-\dfrac{(x-1)^2}{2}, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1. \end{cases}$$
в)
$$P(|X|>0{,}5)=P(X<-0{,}5)+P(X>0{,}5) =F(-0{,}5)+1-F(0{,}5).$$
$$F(-0{,}5)=\frac{(0{,}5)^2}{2}=\frac18,\qquad F(0{,}5)=1-\frac{(0{,}5-1)^2}{2}=1-\frac18=\frac78.$$
Тогда
$$P(|X|>0{,}5)=\frac18+1-\frac78=\frac14.$$
г) Найдём математическое ожидание и дисперсию.
Так как плотность симметрична относительно нуля, то
$$E(X)=0.$$
Найдём $$E(X^2)$$:
$$E(X^2)=\int_{-1}^{1}x^2p(x)\,dx =\int_{-1}^{0}x^2(x+1)\,dx+\int_{0}^{1}x^2(1-x)\,dx.$$
Из симметрии эти интегралы равны, поэтому
$$E(X^2)=2\int_{0}^{1}x^2(1-x)\,dx =2\int_{0}^{1}(x^2-x^3)\,dx =2\left(\frac13-\frac14\right) =\frac16.$$
Тогда
$$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2=\frac16-0=\frac16.$$
Ответ
$$F(x)= \begin{cases} 0, & x<-1,\\ \dfrac{(x+1)^2}{2}, & -1\le x<0,\\ 1-\dfrac{(x-1)^2}{2}, & 0\le x<1,\\ 1, & x\ge 1, \end{cases} \qquad P(|X|>0{,}5)=\frac14, \qquad E(X)=0, \qquad D(X)=\frac16.$$
