Упр.39 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Непрерывная случайная величина $$X$$ имеет следующую функцию распределения:

1. Постройте график функции $$F(x)$$.
2. Найдите плотность распределения $$p(x)$$ и постройте её график.
3. Вычислите вероятность $$P(X > 1)$$.
4. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины $$X$$.

По условию функция распределения имеет вид

$$F(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0,\\ \dfrac{x^2}{4}, & 0<x<2,\\ 1, & x \ge 2. \end{cases}$$

а) График функции $$F(x)$$ состоит из трёх частей: при $$x \le 0$$ это горизонтальная прямая $$y=0$$, на промежутке $$0<x<2$$ — парабола $$y=\dfrac{x^2}{4}$$, а при $$x \ge 2$$ — горизонтальная прямая $$y=1$$.

б) Плотность распределения найдём как производную функции распределения:

$$p(x)=F'(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0,\\ \dfrac{x}{2}, & 0<x<2,\\ 0, & x \ge 2. \end{cases}$$

График плотности — отрезок прямой $$y=\dfrac{x}{2}$$ на промежутке $$0<x<2$$ и нули вне этого промежутка.

в) Вероятность найдём по формуле

$$P(X>1)=1-F(1).$$

Так как

$$F(1)=\frac{1^2}{4}=\frac14,$$

то

$$P(X>1)=1-\frac14=\frac34.$$

г) Математическое ожидание:

$$E(X)=\int\limits_0^2 x \cdot \frac{x}{2}\,dx =\frac12\int\limits_0^2 x^2\,dx =\frac12\cdot \frac{2^3}{3} =\frac43.$$

Найдём $$E(X^2)$$:

$$E(X^2)=\int\limits_0^2 x^2 \cdot \frac{x}{2}\,dx =\frac12\int\limits_0^2 x^3\,dx =\frac12\cdot \frac{2^4}{4} =2.$$

Тогда дисперсия равна

$$D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 =2-\left(\frac43\right)^2 =2-\frac{16}{9} =\frac29.$$

Ответ

$$F(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0,\\ \dfrac{x^2}{4}, & 0<x<2,\\ 1, & x \ge 2, \end{cases} \qquad p(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0,\\ \dfrac{x}{2}, & 0<x<2,\\ 0, & x \ge 2, \end{cases}$$
$$P(X>1)=\frac34,\qquad E(X)=\frac43,\qquad D(X)=\frac29.$$