Упр.39 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

а) Постройте график функции F(x).
б) Найдите плотность распределения р(х) и постройте её график.
в) Вычислите вероятность Р(Х > 1).
г) Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

По условию функция распределения имеет вид

$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0,\\ \dfrac{x^2}{4}, & 0<x<2,\\ 1, & x \ge 2. \end{cases} $$

а) График функции $F(x)$ состоит из трёх частей: при $x \le 0$ это горизонтальная прямая $y=0$, на промежутке $0<x<2$ — парабола $y=\dfrac{x^2}{4}$, а при $x \ge 2$ — горизонтальная прямая $y=1$.

б) Плотность распределения найдём как производную функции распределения:

$$ p(x)=F'(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0,\\ \dfrac{x}{2}, & 0<x<2,\\ 0, & x \ge 2. \end{cases} $$

График плотности — отрезок прямой $y=\dfrac{x}{2}$ на промежутке $0<x<2$ и нули вне этого промежутка.

в) Вероятность найдём по формуле

$$ P(X>1)=1-F(1). $$

Так как

$$ F(1)=\frac{1^2}{4}=\frac14, $$

то

$$ P(X>1)=1-\frac14=\frac34. $$

г) Математическое ожидание:

$$ E(X)=\int\limits_0^2 x \cdot \frac{x}{2}\,dx =\frac12\int\limits_0^2 x^2\,dx =\frac12\cdot \frac{2^3}{3} =\frac43. $$

Найдём $E(X^2)$:

$$ E(X^2)=\int\limits_0^2 x^2 \cdot \frac{x}{2}\,dx =\frac12\int\limits_0^2 x^3\,dx =\frac12\cdot \frac{2^4}{4} =2. $$

Тогда дисперсия равна

$$ D(X)=E(X^2)-\bigl(E(X)\bigr)^2 =2-\left(\frac43\right)^2 =2-\frac{16}{9} =\frac29. $$

Ответ

$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0,\\ \dfrac{x^2}{4}, & 0<x<2,\\ 1, & x \ge 2, \end{cases} \qquad p(x)= \begin{cases} 0, & x \le 0,\\ \dfrac{x}{2}, & 0<x<2,\\ 0, & x \ge 2, \end{cases} $$
$$ P(X>1)=\frac34,\qquad E(X)=\frac43,\qquad D(X)=\frac29. $$