Упр.38 ГДЗ Бунимович Булычев 11 класс (Алгебра)

Задача

Как известно, в теннисе важную роль играет успешная подача. Теннисист подавал успешно первую подачу с вероятностью $$0.4$$. Затем он прошёл специальный курс тренировок, чтобы улучшить подачу. Если он сделает $$25$$ подач, сколько из них должны быть успешными, чтобы признать, что его результаты улучшились на уровне значимости $$0{,}1$$?

Подробный ответ

Пусть доля успешных подач до тренировки равна $$p_0=0{,}4.$$

При числе подач $$n=25$$ стандартное отклонение для выборочной доли равно

$$\sigma=\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\frac{0{,}4\cdot 0{,}6}{25}}=\sqrt{0{,}0096}\approx 0{,}098.$$

Для уровня значимости $$0{,}1$$ берём критическое значение $$1{,}64$$, поэтому условие улучшения запишем так:

$$\frac{p-p_0}{\sigma}>1{,}64,$$

где $$p=\frac{m}{25}$$ — доля успешных подач после тренировки, $$m$$ — их число.

Тогда

$$\frac{m}{25}-0{,}4>1{,}64\cdot 0{,}098\approx 0{,}16,$$

$$\frac{m}{25}>0{,}56,$$

$$m>14.$$

Значит, чтобы признать результаты улучшившимися, успешных подач должно быть не меньше $$15$$.